学习笔记-Matlab之多项式详解

本文内容概述：

1、多项式的表示
2、多项式的计算
- polyval函数
3、多项式的根
- 1）数值根
  - roots函数
  - poly函数
- 2）符号根
- 特定区间内的根
  - fzero()
4、多项式求微分和积分
- 1）求微分/求导数
  - polyder函数
- 2)求微分
  - polyint函数
5、多项式曲线的拟合
- polyfit函数

正文

多项式：诸如pnxn+pn−1xn−1+...+p2x2+p1x+p0p_nx^n+p_{n-1}x^{n-1}+...+p_2x^2+p_1x+p_0pnxn+pn−1xn−1+...+p2x2+p1x+p0，包含非负整数指数的单个变量的表达式。

1、多项式的表示

Mathlab将多项式表示为行向量，其中的每个元素是按降幂排序的系数，例如p=[p2,p1,p0]表示多项式p(x)=p2x2+p1x+p0p(x)=p_2x^2+p_1x+p_0p(x)=p2x2+p1x+p0。

多项式p(x)=4x5−3x2+x+1p(x)=4x^5-3x^2+x+1p(x)=4x5−3x2+x+1的表示：

p=[4 0 0 -3 2 1]

2、多项式的计算

根据特定值计算多项式

polyval(p,1)   %计算多项式p，x=1的值，对于上述例子，输出4

以矩阵形式计算多项式

X = [2 4 5; -1 0 3; 7 1 5];
Y = polyvalm(p,X)
%输出：Y =    154360       78561      19306549001       24072       59692215378      111419      269582

3、多项式的根

（1）数值根

roots函数
例：创建一个向量以表示多项式 x2−x−6x^2−x−6x2−x−6，然后计算多项式的根。

p = [1 -1 -6];
r = roots(p)
% 输出 r=3-2

poly函数
poly 函数返回具有指定根的多项式。对向量执行运算时，poly 和 roots 为反函数，因此 poly(roots§) 返回 p。

p2 = poly(r)
% 输出 p2 =1    -1    -6

对矩阵执行运算时，poly 函数会计算矩阵的特征多项式。特征多项式的根是矩阵的特征值。因此，roots(poly(A)) 和 eig(A) 返回相同的答案（取决于舍入误差、排序和缩放）。

（2）符号根：以符号形式计算多项式

solve函数
计算多项式的根

syms x     % 声明一个符号变量x
s = solve(x^2-x-6)
% 输出 s =-23

factor函数
计算多项式各项的因子

F = factor(x^2-x-6)
% 输出 F =
[ x + 2, x - 3]

（3）求特定区间内的根

使用 fzero 函数求多项式在特定区间内的根。例如，创建一个函数句柄以表示多项式。

p = @(x) 3*x.^7 + 4*x.^6 + 2*x.^5 + 4*x.^4 + x.^3 + 5*x.^2;

在区间 [-2，1]内绘制该函数。

x = -2:0.1:1;
plot(x,p(x))
ylim([-100 50])
grid on
hold on

输出：

从绘图中，多项式在 0 和另一个接近 -1.5 的位置各有一个简单的根。使用 fzero 计算并绘制接近 -1.5 的根。

Z = fzero(p, -1.5)     %输出Z=-1.6056
plot(Z,p(Z),'r*')

4、多项式求微分和积分

1）求微分/求导数
使用 polyder函数获取多项式p(x)=x3−2x−5p(x)=x^3-2x-5p(x)=x3−2x−5的导数，生成的多项式为q(x)=ddxp(x)=3x2−2q(x)=\frac d {dx}p(x)=3x^2-2q(x)=dxdp(x)=3x2−2 。

p = [1 0 -2 -5];
q = polyder(p)
% 输出
q = 3     0    -2

polyder 也可以计算两个多项式积或商的导数。例如，创建两个向量来表示多项式a(x)=x2+3x+5a(x)=x^2+3x+5a(x)=x2+3x+5和b(x)=2x2+4x+6b(x)=2x^2+4x+6b(x)=2x2+4x+6 。
通过调用带有单个输出参数的 polyder来计算两个多项式之积的导数，生成的多项式为c(x)=8x3+30x2+56x+38c(x)=8x^3+30x^2+56x+38c(x)=8x3+30x2+56x+38。

a = [1 3 5];
b = [2 4 6];
c = polyder(a,b)
% 输出
c = 8    30    56    38

通过调用带有两个输出参数的 polyder来计算两个多项式之商的导数，生成的多项式为：q(x)=ddx[a(x)b(x)]=−2x2−8x−24x4+16x3+40x2+48x+36=q(x)d(x)q(x)=\frac d {dx}[\frac {a(x)} {b(x)}]=\frac {-2x^2-8x-2} {4x^4+16x^3+40x^2+48x+36}=\frac {q(x)} {d(x)}q(x)=dxd[b(x)a(x)]=4x4+16x3+40x2+48x+36−2x2−8x−2=d(x)q(x)

[q,d] = polyder(a,b)
% 输出
q =-2    -8    -2
d =4    16    40    48    36

（2)求微分
使用 polyint函数 对多项式p(x)=4x3−3x2+1p(x)=4x^3-3x^2+1p(x)=4x3−3x2+1求积分，生成的多项式为 q(x)=∫p(x)dx=x4−x3+xq(x)=\int p(x)dx=x^4-x^3+xq(x)=∫p(x)dx=x4−x3+x。

p = [4 -3 0 1];
q = polyint(p)
% 输出
q = 1    -1     0     1     0

5、多项式曲线的拟合

此部分说明如何使用polyfit 函数将多项式曲线与一组数据点拟合。按照如下语法，使用 polyfit 求出以最小二乘方式与一组数据拟合的多项式的系数：

   p = polyfit(x,y,n)

其中：

x 和 y 是包含数据点的 x 和 y 坐标的向量
n 是要拟合的多项式的次数

举个栗子。

% 包含5个样本点的测试数据（x，y）
x = [1 2 3 4 5];
y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];
% 用三次多项式进行拟合，返回结果
p = polyfit(x,y,3)
%输出p= -0.1917   31.5821  -60.3262   35.3400绘制样本点和拟合曲线，输出结果如下图。
x2 = 1:.1:5;
y2 = polyval(p,x2);
plot(x,y,'o',x2,y2)
grid on
s = sprintf('y = (%.1f) x^3 + (%.1f) x^2 + (%.1f) x + (%.1f)',p(1),p(2),p(3),p(4));
text(2,400,s)