激光频率旋转框架与哈密顿量
文章目录
- 前言
- 一、旧的哈密顿量
- 二、激光频率旋转框架下的哈密顿量
- 计算结果
前言
在光学腔、光机相互作用、光学参量下转换等过程中,其哈密顿量通常在激光频率的旋转框架下表示,这样可以使驱动场(激光场)不再含有时间t,处理起来较为方便。本文即介绍如何从旧的框架转到旋转框架。本文参考书Agarwal,quantum optics,chapter20 quantum optical effects in nano-mechanical systems.
一、旧的哈密顿量
以最简单的光机系统为例,如图所示,一个部分反射的固定反射镜与一个可移动全反反射镜组成光学腔,假设可移动镜偏离光学腔共振位置,偏移量为 x x x,则整个系统的哈密顿量为
H = ℏ ω c a † a − ℏ G a † a x + 1 2 m ω m 2 x 2 + p 2 2 m + i ℏ ε ( a † e − i ω l t − a e i ω l t ) (1) H=\hbar \omega_c a^{\dagger}a-\hbar G a^{\dagger}ax+\frac{1}{2}m\omega_{m}^2x^2+\frac{p^2}{2m}+i\hbar \varepsilon(a^{\dagger}e^{-i\omega_l t}-ae^{i\omega_l t}) \tag{1} H=ℏωca†a−ℏGa†ax+21mωm2x2+2mp2+iℏε(a†e−iωlt−aeiωlt)(1)
第一项,内腔场的自由哈密顿量;
第二项,光机相互作用哈密顿量, G = − ∂ ω c ∂ x G=-\frac{\partial{\omega_c}}{\partial{x}} G=−∂x∂ωc为单位偏移引起的频率移动;
第三项,谐振子势能;
第四项,谐振子动能;
第五项,腔外耦合进入的泵浦场。( ???为什么写成这种形式呢 )
二、激光频率旋转框架下的哈密顿量
在激光频率旋转框架下,泵浦场不再有时间t,下面进行该处理。
变换后的哈密顿量与之前哈密顿量(1)的关系为
H r o t = R H o l d R † + i ℏ ∂ R ∂ t R † (2) H_{rot}=RH_{old}R^{\dagger}+i\hbar \frac{\partial{R}}{\partial t}R^{\dagger} \tag{2} Hrot=RHoldR†+iℏ∂t∂RR†(2)
其中, R = e i ω l a † a t R=e^{i\omega_l a^{\dagger}at} R=eiωla†at
下面为计算过程,敲公式太累,上图。
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