3.2 回溯法—N皇后问题

1. 问题描述

在n×nn\times nn×n的棋盘上摆放nnn个皇后，使任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上

2. 问题分析

下以求解4皇后问题为例，分析4皇后问题的排列树以及回溯过程：

搜索及回溯过程：

解空间树：

3. 算法设计

1. 算法思想

①用数组x[]存放皇后的位置，x[k]表示第k个皇后放置的位置
②先在第一行放置第1个皇后，然后依2、3、…、n的次序放置其他皇后，当第n个皇后放置好后产生一个可行解（为得到所有解，还需要继续试探第n个皇后的下一个位置）
③试探每个皇后的位置都是从第1列开始的
④当第k个皇后试探了所有列都不能放置时，则回溯到第k-1个皇后，试探第k-1个皇后的下一个位置：如果第k-1个皇后的列号x[k-1]<n，则将其移到下一列，继续试探；否则，再回溯到第k-2个皇后，依次类推
⑤放置第k个皇后应与前面已经放置的k-1个皇后不发生冲突
⑥若第1个皇后的所有位置回溯完毕，则算法结束

2. 代码实现

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string>
//考察皇后k放置在x[k]列是否发生冲突
int Place(int k, int x[]) {                                         for (int i = 1; i < k; i++)/* x[k] == x[i]：是否在同列Math.abs(k - i) == Math.abs(x[k] - x[i])：是否在同一斜线*/if (x[k] == x[i] || fabs(k - i) == fabs(x[k] - x[i]))return 1;                                        //冲突则返回1return 0;
}
/*求解n皇后问题
*/
//非递归算法
void Queens(int n, int x[]) {                           int i = 1;                                             //i表示当前行，也表示放置第i个皇后x[i] = 0;                                                //x[i]是当前列，每个新考虑的皇后初始位置置为0列while (i >= 1) {                                      //尚未回溯到头，循环x[i]++;                                             //原位置后移动一列while (x[i] <= n && Place(i, x) == 1)               //发生冲突，试探下一个位置(i, x[i])x[i]++;if (x[i] <= n) {                                 //为第i个皇后找到了一个合适位置(i, x[i])if (i == n) {                                   //若放置了所有皇后，输出一个解for (int k = 1; k <= n; k++)printf("%d ", x[k]);printf("\n");}else {                                          //若皇后没有放置完i++;                                        //转向下一行，即开始下一个新皇后的放置x[i] = 0;                                   //每个新考虑的皇后初始位置置为0列}}else i--;                                           //若第i个皇后找不到合适的位置，则回溯到上一个皇后}
}//递归算法
void Queens(int i, int x[]， int n){if(i > n){for (int k = 1; k <= n; k++)                            //n个皇后都放置好，输出printf("%d ", x[k]);printf("\n");
}elsefor(int j = 1; j <= n; j++){                            //每层均有n种放法x[i] = j;                                            //放置皇后t在第i列即x[t]if(Place(i, x) == 0)                              //不冲突，考察皇后t放置在x[t]列是否发生冲突Queens(i+1, x, n);                             //继续递归放置下一个皇后}
}void main() {int n;printf("请输入皇后个数：");scanf_s("%d", &n);int *x = (int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));//非递归调用Queens(n, x);//递归调用//Queens(1, x, n);
}

4. 复杂度分析

该算法中每个皇后都要试探n列，共n个皇后，其解空间是一棵子集树，每个结点可能有n棵子树，对应的算法时间复杂度为O(nn)O(n^n)O(nn)
利用显示约束排除两个皇后在同一行或同一列的方法，解空间树就是一棵排列树，因此共有n!n!n!个叶子结点，所以算法的时间复杂度可以降为O(n!)O(n!)O(n!)