背包问题的分类

01背包问题

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

在求选第 i 个物品的状态转移方程的时候，我们可以取出 $f[i-1,j-v[i]]$ 的最大值再加上 w[i]

不选第 i 个物品的话，状态转移方程就是 $f[i][j] = f[i - 1,j]$

$f[i,j]=max\begin{cases}f[i-1,j] & \\ f[i-1, j -V_i] +w_i &if(j\geqslant V_i) \end{cases}$ $f[i]$

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 0; j <= m; j ++ ){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

从二维优化到一维

通过 DP 的状态转移方程，我们发现，每一阶段的 i 的状态只与上一阶段的 i-1 的状态有关。在这种情况下，可以使用称为“滚动数组”的优化方法，降低时间开销。

因为 $f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i])$ 这里的 $f[j - v[i]]$ 一定比 $f[j]$ 更早计算出来，所以 $f[j - v[i]]$ 计算得到的是第 i 层的，而在我们上述的 DP 方程中，所用的是第 i - 1 层的数据，所以如果是从小到大遍历体积的话，会出现 “数据污染” 的情况。所以体积的枚举要从大到小来枚举。

一维优化代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = m; j >= v[i]; j -- ){f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}cout << f[m] << endl;return 0;
}

完全背包问题

输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

对于朴素做法有： $f[i,j]=f[i,j-k*v[i]]+k*w[i]$ 类比01背包问题

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 0; j <= m; j ++ )for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

通过比较下列等式可以发现：

$f[i,j] = max(f[i -1,j],f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j-2v]+2w\cdots )$

$f[i,j-v]=max( f[i-1,j-v],f[i-1],f[i-1,j-2v]+w,f[i-2,j-3v]+2w\cdots )$

得到： ${\color{Red} f[i,j] = max(f[i - 1,j], f[i, j - v] + w)}$

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 0; j <= m; j ++ ){f[i][j] = f[i - 1][j];if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);}cout << f[n][m] << endl;return 0;
}

一维优化

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = v[i]; j <= m; j ++ ){f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}cout << f[m] << endl;return 0;
}

对比01背包和完全背包问题，有以下差异：

01背包： $f[i,j] = max(f[i,j], f[i - 1][j-v[i]] + w[i])$

完全背包： $f[i,j]=max(f[i,j],f[i][j - v[i]+ w[i])$

对于完全背包来说，体积的枚举可以从 v[i] 枚举到 m，因为它每 i 层的更新使用的是第 i 层的数据，不存在“数据污染”的问题。

多重背包问题

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

$f[i,j]=max(f[i-1][j-v[i] * k] + w[i] * k)$

朴素写法

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 110;int n, m;
int v[N], w[N], s[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = 0; j <= m; j ++ )for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++ )f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);cout << f[n][m] <<  endl;return 0;
}

多重背包的二进制优化

众所周知，从 $2^0,2^1,2^2\cdots 2^{k-1}$ 这 k 个2的整数次幂中选出若干个相加，可以表示出 $0\sim 2^{k}-1$ 之间的任意整数。进一步的，我们求出满足 $2^0+2^1+2^2\cdots +2^p\leqslant C_i$ 的最大整数 p，设 $R_i=C_i - 2^0-2^1-\cdots 2^p$ 那么：

根据 p 的最大性，有 $2^0+2^1+2^2\cdots +2^{p+1}> C_i$ ,可推出 $2^{p+1}>R_i$ ，因此 $2^0,2^1,2^2\cdots 2^{p}$ 选出若干个相加可以表示出 $0\sim R_i$ 之间的任意整数；
从 $2^0,2^1,2^2\cdots 2^{p+1}$ 中选出若干个相加，可以表示出 $R_i\sim R_i+2^{p+1}-1$ 之间的任何整数，而根据 Ri 的定义， $R_i+2^{p+1}-1=C_i$ ，因此， $2^0,2^1,2^2\cdots 2^{p},R_i$ 选出若干个可以表示出 $R_i\sim C_i$ 之间的任意整数。

综上所述，我们可以把数量为 $C_i$ 的第 i 个物品拆成 p + 2个物品，他们的体积分别为：

$2^0*V_i,2^1*V_i\cdots 2^p*V_i,R_i*V_i$

这 p + 2 个物品可以凑成 $0\sim C_i*V_i$ 之间所有能被Vi整除的数，并且不能凑成大于 Ci * Vi 的数。这等价于原问题中体积为 Vi 的物品可以使用 0~Ci 次。该方法仅将每种物品拆分成了 $O(logC_i)$ 个，效率较高。

代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 25000, M = 2010;int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;int cnt = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++ ){int a, b, s;cin >> a >> b >> s;int k = 1;while(k <= s){cnt ++ ;v[cnt] = a * k;w[cnt] = b * k;s -= k;k *= 2;}if(s > 0){cnt ++;v[cnt] = a * s;w[cnt] = b * s;}}n = cnt;for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = m; j >= v[i]; j -- )f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[m] << endl;return 0;
}

分组背包问题

输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8

AC代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 110;int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= n; i ++ ){cin >> s[i];for(int j = 0; j < s[i]; j ++ )cin >> v[i][j] >> w[i][j];}for(int i = 1; i <= n; i ++ )for(int j = m; j >= 0; j -- )for(int k = 0; k < s[i]; k ++ )if(v[i][k] <= j)f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);cout << f[m] << endl;return 0;
}

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【动态规划】—— 背包问题

背包问题的分类

01背包问题

从二维优化到一维

一维优化代码实现

完全背包问题

代码实现

一维优化

多重背包问题

朴素写法

多重背包的二进制优化

代码实现

分组背包问题

AC代码

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