27.CF1004F Sonya and Bitwise OR 区间合并线段树

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给定序列，要求支持操作： 1.单点修改 2.查询区间内按位或和至少为X的子区间数

考虑分治。现在需要计算跨越区间中点的左、右端点对数。记录以区间中点为一端的前后缀，搭配双指针就可以 O ( n ) O(n) O(n) 计算

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题目思路

如果要检查合法性的话，只需要维护 20 20 20棵线段树就能支持。但是本题要求计数，问题就麻烦了。

假设只有一个全局询问，考虑分治。现在需要计算跨越区间中点的左、右端点对数。记录以区间中点为一端的前后缀，搭配双指针就可以 O ( n ) O(n) O(n) 计算。

我们可以发现，由于或运算的性质，不同的前缀/后缀区间或至多只有 log ⁡ a \log a loga 种。

对于每个区间，我们分别记录前缀、后缀或和及区间答案，上传时分别传递前缀后缀、更新前缀后缀。
考虑如何区间合并，我们分别开 v e c t o r vector vector记录不同的前后缀或值，在合并左右区间时，对于前缀序列，插入右区间中所有与整个左区间或产生的不同的值，右区间类比这么处理。
考虑合并时如何更新答案：计算符合条件的 L , R L, R L,R对数，我们设置两个指针分别指向左右区间的左区间首和右区间尾，然后对于每个左端点缩右端点，然后暴力计数即可。
对于答案的计算，直接双指针扫一遍，枚举在带合并的两个区间内分别枚举 L , R L, R L,R，然后计算符合条件的 L , R L, R L,R个数，就能实现两个区间的答案合并。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#pragma gcc optimize("O2")
#pragma g++ optimize("O2")
#define int long long
#define endl '\n'
using namespace std;const int N = 2e5 + 10, MOD = 1e9 + 7;
int a[N], n, m, x;namespace ffastIO {const int bufl = 1 << 15;char buf[bufl], *s = buf, *t = buf;inline int fetch() {if (s == t) { t = (s = buf) + fread(buf, 1, bufl, stdin); if (s == t) return EOF; }return *s++;}inline int read() {int a = 0, b = 1, c = fetch();while (!isdigit(c))b ^= c == '-', c = fetch();while (isdigit(c)) a = a * 10 + c - 48, c = fetch();return b ? a : -a;}
}using ffastIO::read;#define pii pair<int, int>namespace SegTree{#define ls (rt << 1)#define rs (rt << 1 | 1)#define lson ls, l, mid#define rson rs, mid + 1, rstruct Info{vector<pii> pre, suf;int ans, pl, pr;Info(): ans(0) { pre.clear(), suf.clear(); }void clear() { pre.clear(), suf.clear(), ans = 0; }void add_pre(int x, int y) { pre.emplace_back(pii{x, y}); }void add_suf(int x, int y) { suf.emplace_back(pii{x, y}); }Info operator+ (Info b) {if(!pre.size()) return b;if(!b.pre.size()) return *this;Info res;res.ans = this -> ans + b.ans;res.pre = this -> pre;res.pl = pl, res.pr = b.pr;for(auto now : b.pre){if((pre.back().first | now.first) != res.pre.back().first)res.add_pre(pre.back().first | now.first, now.second);}res.suf = b.suf;for(auto now : suf){if((b.suf.back().first | now.first) != res.suf.back().first)res.add_suf(b.suf.back().first | now.first, now.second);}for(int i = 0, j = b.pre.size() - 1; i < (int)suf.size(); i++){while(j >= 0 && (suf[i].first | b.pre[j].first) >= x) j--;if(j + 1 < (int)b.pre.size())res.ans += 1ll * (suf[i].second - (i + 1 < (int)suf.size() ? suf[i + 1].second : pl - 1)) * (b.pr - b.pre[j + 1].second + 1);}return res;}}tree[N << 2];void push_up(int rt){ tree[rt] = tree[ls] + tree[rs]; }void build(int rt, int l, int r){if(l == r){tree[rt].pl = tree[rt].pr = l;tree[rt].add_pre(a[l], l);tree[rt].add_suf(a[l], l);tree[rt].ans = (a[l] >= x);return;}int mid = l + r >> 1;build(lson), build(rson);push_up(rt);}void update(int rt, int l, int r, int pos, int val){if(l == r){tree[rt].clear();tree[rt].add_pre(val, pos);tree[rt].add_suf(val, pos);tree[rt].ans = (val >= x);return;}int mid = l + r >> 1;if(mid >= pos) update(lson, pos, val);else update(rson, pos, val);push_up(rt);}Info query(int rt, int l, int r, int L, int R){if(l >= L && r <= R) return tree[rt];int mid = l + r >> 1; Info ans;if(mid >= L) ans = ans + query(lson, L, R);if(mid < R) ans = ans + query(rson, L, R);return ans;}#undef ls#undef rs#undef lson#undef rson
}#define SEGRG 1, 1, ninline void solve(){n = read(), m = read(), x = read();for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();SegTree::build(1, 1, n);while(m--){int op = read(), l = read(), r = read();if(op == 1) SegTree::update(SEGRG, l, r);else cout << SegTree::query(SEGRG, l, r).ans << endl;}
}signed main(){solve();return 0;
}

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