怎样寻找最佳爱人：一个微积分求解的离散数学问题

概率的计算

最好的那个人在位置1的可能性是多少？跟其他任何位置一样，最好的那个人同样可能在位置1。所有的位置都同样可能，所以每一个位置的概率为p= 1/N。现在，如果最好的那个人在位置1，它被选到的概率是多少？因为第一个k中的任何人我们都不会选择，所以这个概率就是0。所以，在位置1并被选择到的组合概率为：

事实上，对于第一个k的各个位置，P的值都是P= （1/N）·0·0=0。所以，我们有

所以我们又有

在P中，第一个非零项来自位置（k+1）。这个位置上是最佳选择的概率还是为p= 1/N。如果最佳选择在这个位置，那么采用这个程序选择到它的概率为p= 1。在这个点上，

现在，我们需要将这些不同项求和。如果我们能够算出位置k+2的概率，那么我们就能算出其他所有项的概率。于是，让我们来思考位置k+2。

对于这个问题的思考，其中一个办法就是：它怎么才不会被选到。在这种情况下，我们假定最好的选择在位置k+2，于是第一个k中没有一个比它好。然而，如果位置k+1的那个选择比第一个k中任何一个都好，那么在你达到位置k+2之前它就会被选到。我们认为不存在并列最佳，所以在第一个k+1位置中就会出现最好的一个选择。如果这个最佳选项在第一个k+1个位置中，并且居于第一个k之中，那么位置k+1那个选项就不可能比之前的任何一个更好，并且进而我们就会达到位置k+2然后选出这个选项。如果最佳选项在位置k+2之内，我们成功地选出它的概率是p=k/（k+1）。（在数学计算推进中，这是最重要的一点。你要确保自己已经理解这个概率为什么是正确的。）

所以，这时我们有，

接着我们发现，最佳选择在位置k+3的概率仍然是p= 1/N。

如果在第一个k+2位置中的最佳选项居于第一个k之中，那么我们就会选出它。这发生的概率是p=k/（k+2）。所以，

其他选项的可能性都可以同样地确定。所以，我们有，

简化为

或

这里有一个重要的地方我们要注意，上边的两个方程不是等价的。在第一个中，定义域是k=0,1,2…N-1。然而在第二个中，它被限制为k=1,2…N-1。我们应该考虑，定义域中一个元素的丢失是否会导致重大的问题。当我们考虑k=0的情况，这就表示选出了第一个选项。这个选项为最佳的概率是p= 1/N。我们的函数丢失了这个值，不过我们丢失的这个东西它的值我们已经知道。所以，我们仍然可以把函数

作为我们的模型。

让我们来看一个例子。假设N=5，并且定义域为k=1,2,3,和4，我们有，

在这个例子中我们看到，k=2是最佳的那个值。它给予我们的成功率是0.4333。下表是N的其他几个值的结果。

我们看到，成功的最大概率在稳步下降。这是可以预料的。比起从11或111开始选择，从3开始我们应该有更好的选出最佳选项机会。随着N的增大，这个概率最终会接近值1/N？不列出所有这些值，并且不去看看哪一个最大，那么我们怎样确定k的最佳值？我们能够设计一种算法吗，用它来找到正确的那个值更容易一些？

我们可以借助于微积分吗？为什么我们不用关于k的函数P求导，令这个导数等于零，然后求解？记住重要的一点，P(k)不是一个连续函数。它的定义域仅仅为k= 1,2,3…N。所以标准的演算技术不是我们的选择。不过，后边我们会再次考虑到微积分。

从上边的这个表和图，我们注意到，概率在1/N连续增加到一个最大值，然后回落到1/N。图表上的最大值是怎么回事，我们能够弄清吗？找到最大值的一个方法就是去思考P(k)函数值的连续序列。k如果是我们想要的那一个，那么对于这个k来说，下一个的概率比前一个的概率更小——这个k就是这样的第一个。即是说，P(k +1)- P(k)<0。这个过程类似于微积分中使用的一阶导数检定法。

所以，

如果我们累积求和，那么不同的k值计算可得

为负值的第一个和将会给予我们求解的答案。下表举例说明了N=15的这一求解过程。

在离散数学的优化问题中，求解的算法常常产生出那个解决方法。但是，它不是某一个具体而清晰的解决方法。通常，我们对这种“解决方法”不满意。不过，写一个程序十分简单。当

的时候，它会运算到程序结束。所以对于任意给定的N，我们也能够容易地找到清晰具体的解决方法。下边就是这样一个简短的计算程序，可以用它来找到那个k：

程序名：寻找最佳配偶

:Disp “INPUT N”

:Input N

:0.S

:N-1.X

:While S<1

:1/X+S.S

:X-1.X

:End

:Disp X+1

:X+1.K

:(K/N)(sum(seq(1/T,T,K,N-1)) ).P

:Disp P

微积分求解

我 们不能直接用微积分解决这个问题，不过我们可以用微积分得到一个近似值。对于微积分，离散数学模型的运用原则为人熟知。这也包括近似连续模型方法的使用。 在微分方程中，也可以利用欧拉方法近似求解。以及，莱曼求和或者定积分逼近的梯形原则也涉及到这个问题。对于这个问题我们的思路是反向的，我们有一个离散 函数但我们用连续函数来求它的近似值。对于连续逼近来说，微积分是一种更强有力的手段。

设这个概率的函数为

在x=k到x=N的取值范围中，曲线y=1/x下对应一个面积。对于这个面积，微积分可以被视为是近似求和。

同样，对于

，

的微积分被视为是一种近似值。所以，我们可以用函数

来求函数P(x)的近似值。从上图可以看到，当N和k很小时，这个近似值很差。不过，随着N值的增大，k也增大。一旦取值超过N=15和k=5，我们看到曲线下矩形面积代表的就不是那么“差”的值。现在，我们令变量为比率k/N=x，那么我们就得到近似的连续函数

于是，我们可以借助微积分进行计算。

我们有

所以

设

我们发现

常数e在问题中露面了，这叫人很兴奋。这即是说，我们应该放过位置k/N=1/e≈0.368，然后才开始选择我们的配偶。我们也应该核查一下从那个程序计算所得的值，看看这是否是一个合理的近似值。

成功的概率是多少？它减小到1/N了吗？现在，我们可以用下边这个函数计算成功率的近似值：

结论

随着k增大到大约0.368，成功率也逐渐向下平落。利用这一计算过程，我们发现，我们可能成功地从数量为N的一群人中选出最好的那个。方法是，放过前边供以选择的大约37%的选项，然后在37%的几率中选择比之前所看到的都好的第一个。无论N的值多大，这都是真的！这是一个引人注目的高概率。通过这种办法，你能够以几乎37%的几率从5000个人中选出最好的那一个。即，对最先的1839个人不做选择，然后选择比那1839个都更好的那第一个。

对于学生而言，这里可以得到一个建议。与你中学的心上人结婚不是一个特别好的策略。不要太过认真，不要太匆忙。走出去，与大量的人的接触。去看看你喜欢谁，谁喜欢你。然后，做出你的选择。

附：当N大于15时，这个近似值相当精确。所以，至少约会过15个对象，你的择偶决定才会更靠谱一些。一 般而言，我们一生择偶对象的量不会很大。所以，刚开始的几个情侣可以彻底放开心地相处，因为那才是最好的爱情练习。然后，情侣数、阅历以及年龄到了一定程 度后，碰到一个比之前都要好的人就赶紧婚了吧。意中人可能多如金黄的麦田，但你只能摘其中一支麦穗。（另：否决项当译为放弃项）

参考文献：

Shultz, Harris和Bill Leonard〈文秘雇佣策略〉，《本科数学及其应用杂志》，1987年冬季卷8第4号。

Paulos, John Allen《数学盲》，纽约，纽约Hill and Wang出版社1988年。

作者：

Dan Teague   teague@ncssm.edu