动态规划01背包练习

01背包的题目：

416. 分割等和子集

1049. 最后一块石头的重量 II

494. 目标和

474. 一和零

416. 分割等和子集

类加所有数字为sum，如果sum为奇数返回false
然后试着将所有数字分成两份，如果其中有一份能达到sum/2 ，返回true，否则为false。

DFS, 暴力过不了所有的点

    public static boolean canPart( int[] nums ) {int sum = 0;for ( Integer i : nums ) {sum += i;}return dfs( nums, 0, 0, sum );}private static boolean dfs( int[] nums, int index, int sum, int target ) {//base caseif ( nums.length == index ) {if ( sum == target ) {return true;} else {return false;}}//对于任意一个数，可与选或者不选return dfs( nums, index + 1, sum + nums[index], target )||dfs( nums, index + 1, sum, target );}
//    作者：winlsr
//    链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/solution/dfs-dfs-bei-wang-lu-01bei-bao-dong-tai-g-4j1t/
//    来源：力扣（LeetCode）
//    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

暴力+记忆化搜索

 // 备忘录：也可用一个二维数组，一维表示元素和sum，一维表示当前索引indexprivate Map<String, Boolean> map = new HashMap<>();private boolean dfsAndMap( int[] nums, int index, int sum, int target ) {if ( nums.length == index ) {if ( sum == target ) {return true;} else {return false;}}//描述一个子问题的两个变量是 sum 和 index，组成 key 字符串String key = sum + "&" + index;if ( map.containsKey( key ) ) {return map.get( key );}boolean ret = dfs( nums, index + 1, sum + nums[index], target ) ||dfs( nums, index + 1, sum, target );map.put( key, ret );return ret;}

动态规划

等价关系是这样的：
从 [0…i] 这个区间里抽出若干个元素能够填满 sum / 2 的背包，
就一定可以把区间为全部、和为 sum 的整数拆分成两个相等的子集【1】【2】

dp[ i ][ j ] 的意思是，选 i 个数字，刚好等于 j
因此dp [ i ] [ j ]有两种状态，true或者false。

    public boolean canPartition(int[] nums) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}if (sum % 2 == 1) {return false;}int target = sum / 2;int n = nums.length;boolean[][] dp = new boolean[n + 1][target + 1];dp[0][0] = true;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=target;j++){// 不选，则当前状态和上一层状态相同if(j < nums[i-1]){dp[i][j]=dp[i-1][j];}else{// 选了当前元素， 上一层布尔值 ｜｜ 选了当前元素的布尔值 dp[i][j]=dp[i-1][j] || dp[i-1][j-nums[i-1]];}}}return dp[n][target];}

一维优化

        public boolean canPartition(int[] nums) {int sum = 0;for (int num : nums) {sum += num;}if (sum % 2 == 1) {return false;}int target = sum / 2;int n = nums.length;boolean[] dp = new boolean[target + 1];dp[0] = true;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=target;j>=nums[i-1];j--){dp[j]= dp[j-nums[i-1]] || dp[j];}}return dp[target];}

1049. 最后一块石头的重量 II

动态规划

class Solution {public int lastStoneWeightII(int[] stones) {int sum = 0;for (int s : stones) {sum += s;}int target = sum / 2;//初始化，dp[i][j]为可以放0-i物品，背包容量为j的情况下背包中的最大价值int[][] dp = new int[stones.length][target + 1];//dp[i][0]默认初始化为0//dp[0][j]取决于stones[0]for (int j = stones[0]; j <= target; j++) {dp[0][j] = stones[0];}for (int i = 1; i < stones.length; i++) {for (int j = 1; j <= target; j++) {//注意是等于if (j >= stones[i]) {//不放:dp[i - 1][j] 放:dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - stones[i]] + stones[i]);} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}// System.out.println(dp[stones.length - 1][target]);return (sum - dp[stones.length - 1][target]) - dp[stones.length - 1][target];}
}

494. 目标和

DFS 搜索

    int res = 0;public int findTargetSumWaysByDFS( int[] nums, int target ) {int sum = 0;for ( Integer i : nums ) {sum += i;}if ( sum < target ) {return 0;}dfs( nums, target, 0, 0 );return res;}public void dfs( int[] nums, int target, int sum, int index ) {if ( index == nums.length ) {if ( sum == target ) {res++;return;}}if ( index != nums.length ) {dfs( nums, target, sum - nums[index], index + 1 );dfs( nums, target, sum + nums[index], index + 1 );}}

DFS 方法二

class Solution {public int findTargetSumWays(int[] nums, int t) {return dfs(nums, t, 0, 0);}int dfs(int[] nums, int t, int u, int cur) {if (u == nums.length) {return cur == t ? 1 : 0;}int left = dfs(nums, t, u + 1, cur + nums[u]);int right = dfs(nums, t, u + 1, cur - nums[u]);return left + right;}
}
作者：AC_OIer
链接：https://leetcode-cn.com/problems/target-sum/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-si-jie-dfs-ji-yi-et5b/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

二维动态规划

目标和：给数组里的每个数字添加正负号得到target
数组和sum,目标和targer,
数字可以分为两堆，左边组合 x , 右边组合 y ,
则
x + y = sum , x - y = targer ,
那么
x + x = sum + targer
x = ( target + sum ) / 2 【3】

target是固定的，sum是固定的，y 就可以求出来
此时问题就是在集合nums中找出和为x的组合。

也就是说问题有解需要满足两个条件

数字全部加起来大于 target
(sum + target) % 2 != 0 要不然无法找到相应的左右组合使得题意成立。

定义dp[ i ] [ j ]
表示，选 0-i 个数，恰好使得他们的和为 j 的方法数有 dp[ i ] [ j ] 种。
初试化 dp[ 0 ] [ 0 ] = 1 表示一个数都不选，他们的和恰好为0 的方法数有 1 种

对于第i个数字，我们有两种选择：

选择将第 i 个数字放入左边的组合，
此时，数字还剩 i - 1 个，背包的容量需要减去nums [ i ] (此处相当于要凑 j ,还差 j-nums[i] , 而这个信息在 dp [ i - 1 ] [ j - nums [ i ] ] 存放着)

递推式为 dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j - nums [ i ] ]；
选择放弃第i个数字，直接来到第i - 1个数字，
那么能满足和为 j 的方式就是上一行的值（dp[ i - 1] [ j ]）

递推式为 dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ]；
当背包的容量小于第i个数字时，即j< nums[ i ]，无法将第i个数字放入背包，只能跳过，递推式同2 【4】

此处相当于，剩下要凑的数字 j 已经比其他数字小了，无法
所以 dp [ i ] [ j ] = dp [ i - 1 ] [ j ]

public int findTargetSumWays( int[] nums, int target ) {int res = 0;int sum = 0;for ( int i : nums ) {sum += i;}if ( Math.abs( target ) > sum || (sum + target) % 2 != 0 ) {return 0;}int mid = (sum + target) / 2;int N = nums.length;int[][] dp = new int[N + 1][mid + 1];dp[0][0] = 1;for ( int i = 1; i <= N; i++ ) {for ( int j = 0; j <= mid; j++ ) {if ( j >= nums[i - 1] ) {// 两种选择的结果之和dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]];} else {// 背包的空间不足，只能选择不装物品 idp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[N][mid];}

一维优化

    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {int res = 0;int sum = 0;for (int i : nums) {sum += i;}if (Math.abs(target) > sum || (sum + target ) % 2 != 0 ) {return 0;}int mid =  (sum + target) / 2;int N = nums.length;int []dp = new int [mid+1];dp[0]=1;for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = mid; j>=nums[i-1]; j--) {dp[j] = dp[j] + dp[j-nums[i-1]];}}return dp[mid];}

474. 一和零

暴力超时

int res = 0 ;    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {List<String> path = new ArrayList<>();get(strs,0,m,n,0,0,path);return res;}public void get(String[] strs,int index, int m, int n,int numM,int numN,List<String> path  ){if(numM <=m && numN<= n){res = Math.max(res,path.size());}else{return;}for(int i=index;i<strs.length;i++){path.add(strs[index]);int[] cur = count(strs[i]);get(strs,i+1,m,n,cur[0]+numM,cur[1]+numN,path);path.remove(path.size()-1);}}public int[] count(String s){int [] res = new int[2];int i = 0;int len = s.length();while(i<len){if(s.charAt(i) == '0'){res[0]++;}else{res[1]++;}i++;}return res;}

动态规划

参考【5】

public class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int len = strs.length;int[][][] dp = new int[len + 1][m + 1][n + 1];for (int i = 1; i <= len; i++) {// 注意：有一位偏移int[] count = countZeroAndOne(strs[i - 1]);for (int j = 0; j <= m; j++) {for (int k = 0; k <= n; k++) {// 先把上一行抄下来dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];int zeros = count[0];int ones = count[1];if (j >= zeros && k >= ones) {dp[i][j][k] = Math.max(dp[i - 1][j][k], dp[i - 1][j - zeros][k - ones] + 1);}}}}return dp[len][m][n];}private int[] countZeroAndOne(String str) {int[] cnt = new int[2];for (char c : str.toCharArray()) {cnt[c - '0']++;}return cnt;}
}

空间优化

public class Solution {public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];dp[0][0] = 0;for (String s : strs) {int[] zeroAndOne = calcZeroAndOne(s);int zeros = zeroAndOne[0];int ones = zeroAndOne[1];for (int i = m; i >= zeros; i--) {for (int j = n; j >= ones; j--) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1);}}}return dp[m][n];}private int[] calcZeroAndOne(String str) {int[] res = new int[2];for (char c : str.toCharArray()) {res[c - '0']++;}return res;}
}

【1】https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/solution/0-1-bei-bao-wen-ti-xiang-jie-zhen-dui-ben-ti-de-yo/782571
【2】https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/solution/0-1-bei-bao-wen-ti-xiang-jie-zhen-dui-ben-ti-de-yo/
【3】https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/solution/yi-pian-wen-zhang-chi-tou-bei-bao-wen-ti-a7dd/
【4】https://leetcode-cn.com/problems/target-sum/solution/hen-xiang-xi-de-zhuan-hua-wei-0-1bei-bao-irvy/
【5】https://leetcode-cn.com/problems/ones-and-zeroes/solution/dong-tai-gui-hua-zhuan-huan-wei-0-1-bei-bao-wen-ti/

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