来源 | 数量经济学综合整理

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进行回归分析，一般需要研究系数的估计值是否稳定。很多经济变量都存在结构突变问题，使用普通回归的做法就是确定结构突变点，进行分段回归。这就像我们高中学习的分段函数。但是对于大样本、面板数据如何寻找结构突变点。所以本文在此讲解面板门限回归的问题，门限回归也适用于时间序列(文章后面将介绍stata15.0新命令进行时间序列的门限回归)。

门限效应，是指当一个经济参数达到特定的数值后，引起另外一个经济参数发生突然转向其它发展形式的现象(结构突变)。作为原因现象的临界值称为门限值。例如，成果和时间存在非线性关系，但是在每个阶段是线性关系。有些人将这样的模型称为门槛模型，或者门限模型。如果模型的研究对象包含多个个体多个年度，那么就是门限面板模型。

一、history&Hansen

常见模型如下：门槛回归模型(threshold regression，也称门限回归)：

汉森(Bruce E. Hansen)在门限回归模型上做出了很多贡献。 Hansen于1996年在《Econometrica》上发表文章《Inference when a nuisance parameter is not identified under the null hypothesis》，提出了时间序列门限自回归模型(TAR)的估计和检验。之后，他在门限模型上连续追踪，发表了几篇经典文章，尤其是1999年的《Threshold effects in non-dynamic panels: Estimation, testing and inference》(Hansen (1999) 首次介绍了具有个体效应的面板门限模型的计量分析方法, 该方法以残差平方和最小化为条件确定门限值, 并检验门限值的显著性, 克服了主观设定结构突变点的偏误。具体思路是:选定某一变量作为门限变量, 根据搜寻到的门限值将回归模型区分为多个区间, 每个区间的回归方程表达不同, 根据门限划分的区间将其他样本值进行归类, 回归后比较不同区间系数的变化。)，2000年的《Sample splitting and threshold estimation》和2004年与他人合作的《Instrumental Variable Estimation of a Threshold Model》。

在这些文章中，Hansen介绍了包含个体固定效应的静态平衡面板数据门限回归模型，阐述了计量分析方法。方法方面，首先要通过减去时间均值方程，消除个体固定效应，然后再利用OLS(最小二乘法)进行系数估计。如果样本数量有限，那么可以使用自举法(Bootstrap)重复抽取样本，提高门限效应的显著性检验效率。在Hansen(1999)的模型中，解释变量中不能包含内生解释变量，无法扩展应用领域。Caner和Hansen在2004年解决了这个问题。他们研究了带有内生变量和一个外生门限变量的面板门限模型。与静态面板数据门限回归模型有所不同，在含有内生解释变量的面板数据门限回归模型中，需要利用简化型对内生变量进行一定的处理，然后用2SLS(两阶段最小二乘法)或者GMM(广义矩估计)对参数进行估计。

二．显著性检验

门槛回归模型显著性检验的目的是，检验以门檻值划分的两组样本其模型估计参数是否显著不同。

因此，不存在门槛值的零假设为：Ho：两个系数相同。同时构造LM统计量：

其中，So是在零假设下的残差平方和。由于LM统计量并不服从标准的分布。因此， Hansen(2000)提出了通过“自举法”( Bootstrap)来获得渐进分布的想法，进而得出相应的概率p值，也称为 Bootstrap P值。

这种方法的基本思想是：在解释变量和门槛值给定的前提下，模拟( Simulate)产生一组因变量序列，并使其满足N(0，e2)，其中e是式(4)的残差项。每得到一个自抽样样本，就可以计算出一个模拟的エM统计量。将这一过程重复1000次。Hansen(1996)认为模拟产生的LM统计量大于式(6)的次数占总模拟次数的百分比就是“自举法”估计得到的P值。这里的Bootstrap P值类似于普通计量方法得出的相伴概率P值。例如，当 Bootstrap P值小于0.01时，表示在1 %的显著性水平下通过了LM检验，以此类推。

三．置信区间

以上的检验过程为只有一个门槛值的检验过程，为了能确定是否存在两个门槛值或者是更多的门槛值，我们应当检验是否存在两个门槛值，拒绝意味着至少存在一个门槛值。我们可以假设己经估计的第一个门槛值，然后开始寻找第二个门槛值。在确定有两个门槛值后，再寻找第三个门槛值，方法都和前面的一样，直至我们不能拒绝零假设。

四、门槛回归：xthreg

xthreg需要stata13及以上版本

语法格式为：

xthreg depvar [indepvars] [if] [in], rx(varlist) qx(varname) [thnum(#) grid(#) trim(numlist) bs(numlist) thlevel(#) gen(newvarname) noreg nobslog thgiven options]

depvar被解释变量，indepvars 解释变量，qx(varname) is the threshold variable，门限变量，thnum(#) is the number of thresholds，在stata13.0中门槛值是必要项目，需要等于大于1，小于等于3，默认值为1，也就是至少存在三个门槛值。

rx(varlist) is the regime-dependent variable. Time-series operators are allowed. rx() is required. 区制变量或者制度变量

qx(varname) is the threshold variable. Time-series operators are allowed. qx() is required. 门限变量或者门槛变量

thnum(#) is the number of thresholds. In the current version (Stata 13), # must be equal to or less than 3. The default is thnum(1). 门槛个数

grid(#) is the number of grid points. grid() is used to avoid consuming too much time when computing large samples. The default is grid(300). 网格点数

trim(numlist) is the trimming proportion to estimate each threshold. The number of trimming proportions must be equal to the number of thresholds specified in thnum(). The default is trim(0.01) for all thresholds. For example, to fit a triple-threshold model, you may set trim(0.01 0.01 0.05).

bs(numlist) is the number of bootstrap replications. If bs() is not set, xthreg does not use bootstrap for the threshold-effect test. bootstrap迭代次数

thlevel(#) specifies the confidence level, as a percentage, for confidence intervals of the threshold. The default is thlevel(95). 置信区间，默认为95%，即thlevel(95)

gen(newvarname) generates a new categorical variable with 0, 1, 2, ... for each regime. The default is gen(_cat).

noreg suppresses the display of the regression result. 不显示回归结果

nobslog suppresses the iteration process of the bootstrap. 不显示bootstrap迭代过程

thgiven fits the model based on previous results. options are any options available for [XT] xtreg.

Time-series operators are allowed in depvar, indepvars, rx(), and qx().

门槛回归的案例

use hansen1999

1、进行单一门槛回归

xthreg i q1 q2 q3 d1 qd1, rx(c1) qx(d1) thnum(1) trim(0.01) grid(400) bs(300)

输出结果包括四个部分。第一部分输出门限估计值和自举法的结果。第二部分列表输出门限值及置信区间，Th-1代表单一门限估计值，Th-21 和Th-22代表双门限回归的两个估计值，有时Th-21和Th-1相同。第三部分列出了门限检验，包括RSS、MSE、F统计量及概率值，以及10%、5%、1%的置信水平。第四部分是固定效应回归结果。

2、进行三重门槛回归

xthreg i q1 q2 q3 d1 qd1, rx(c1) qx(d1) thnum(3) trim(0.01 0.01 0.05) grid(400) bs(300 300 300)

3、绘图

输入命令

Plot the confidence interval using likelihood-ratio (LR) statistics

_matplot e(LR21), columns(1 2) yline(7.35, lpattern(dash)) connect(direct) msize(small) mlabp(0) mlabs(zero) ytitle("LR Statistics") xtitle("First Threshold") recast(line) name(LR21) nodraw

_matplot e(LR22), columns(1 2) yline(7.35, lpattern(dash)) connect(direct) msize(small) mlabp(0) mlabs(zero) ytitle("LR Statistics") xtitle("Second Threshold") recast(line) name(LR22) nodraw

graph combine LR21 LR22, cols(1)

结果为：

五、参考文献及资源下载

计量经济分析方法与建模：EViews应用及实例

Hansen, Bruce E., 2000. "Sample Splitting and Threshold Estimation," Econometrica, 68, 575-603.(门槛回归Bruce Hansen 在其个人网页所提供的非官方 Stata 命令 ，下载地址为：http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/progs/progs_threshold.html)

Hansen, B. E.  1999.  Threshold effects in non-dynamic panels:  Estimation, testing,  and inference.  Journal of Econometrics 93: 345-368.

Wang, Qunyong, 2015. "Fixed-effect Panel Threshold Model Using Stata," The Stata Journal, 15(1), 121-134.

连玉君，程建. 不同成长机会下资本结构与经营绩效之关系研究. 当代经济科学，2006(2):97-103.

资源下载

Bruce E. Hansen "Sample splitting and threshold estimation" Econometrica (2000)中关于R、Stata、Gauss 、Matlab等软件的Programs and Data下载地址为：https://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/progs/ecnmt_00.html