HDU多校3 - 6975 Forgiving Matching(多项式匹配字符串)

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题目大意：给出一个长度为 nnn 的字符串 sss 和一个长度为 mmm 的字符串 ttt。规定 kkk 匹配的意思是，两个长度相同的字符串至多有 kkk 个位置是不同的，特别的，k=0k=0k=0 时指的就是完全匹配。现在问当 k∈[0,m]k \in[0,m]k∈[0,m] 时，字符串 ttt 可以和字符串中的多少个子串匹配

题目分析：这里简单分析一下多项式匹配字符串的一般方法。设 S(i)S(i)S(i) 为字符串 sss 的每一位，同理 T(j)T(j)T(j) 为字符串 ttt 的每一位，规定 F(x)F(x)F(x) 为“在字符串 sss 中，子串 s[x−m+1:x]s[x-m+1:x]s[x−m+1:x] 可以与字符串 ttt 匹配的位数”。自然当 S(i)=T(j)S(i)=T(j)S(i)=T(j) 时，F(i−j)F(i-j)F(i−j) 加一。考虑将 ttt 翻转得到 T′T'T′，易知 T(j)=T′(m−j−1)T(j)=T'(m-j-1)T(j)=T′(m−j−1)，所以当 S(i)=T′(j)S(i)=T'(j)S(i)=T′(j) 时，F(i−(m−j−1))F(i-(m-j-1))F(i−(m−j−1)) 加一，即 F((i+j)−m−1)F((i+j)-m-1)F((i+j)−m−1) 加一，然后枚举字符集，每次卷积累加就可以统计出答案了，显然 m−F(x)m-F(x)m−F(x) 代表的就是子串 s[x−m+1:x]s[x-m+1:x]s[x−m+1:x] 与字符串 ttt 的失配数了

具体实现方法就是枚举字符集，将两个字符串都转换为 010101 串，这样就可以很方便的通过卷积实现上面的操作了

这种匹配的做法受限于字符集大小，复杂度为 O(knlogn)O(knlogn)O(knlogn)，其中 kkk 为字符集大小

回到本题，如何处理通配符呢，其实可以单独处理，对于每个子串而言，通过通配符匹配的字符个数为：S子串中通配符的个数 + T串中通配符的个数 - S子串和T串中通配符匹配的个数

前两项都可以预处理前缀和维护，第三项可以用多项式像前面一样处理出来

代码：

// Problem: Forgiving Matching
// Contest: Virtual Judge - HDU
// URL: https://vjudge.net/problem/HDU-6975
// Memory Limit: 524 MB
// Time Limit: 12000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=2e5+100;
const int mod=998244353,G=3,Gi=332748118;
int n,m,limit = 1,L,r[N<<2],sum[N],ans[N];
LL a[N<<2],b[N<<2],f[N<<2];
char s[N<<2],t[N<<2];
inline LL fastpow(LL a, LL k) {LL base = 1;while(k) {if(k & 1) base = (base * a ) % mod;a = (a * a) % mod;k >>= 1;}return base % mod;
}
inline void NTT(LL *A, int type) {for(int i = 0; i < limit; i++) if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {    LL Wn = fastpow( type == 1 ? G : Gi , (mod - 1) / (mid << 1));for(int j = 0; j < limit; j += (mid << 1)) {LL w = 1;for(int k = 0; k < mid; k++, w = (w * Wn) % mod) {int x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid] % mod;A[j + k] = (x + y) % mod,A[j + k + mid] = (x - y + mod) % mod;}}}
}
void init() {memset(s,0,sizeof(s));memset(t,0,sizeof(t));memset(ans,0,sizeof(ans));memset(sum,0,sizeof(sum));memset(f,0,sizeof(f));limit=1,L=0;while(limit<=n+m) limit<<=1,L++;for(int i=0;i<limit;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
}
int main()
{#ifndef ONLINE_JUDGE// freopen("C:\\Users\\Frozen_Guardian\\Desktop\\1003.in","r",stdin);// freopen("C:\\Users\\Frozen_Guardian\\Desktop\\1003.txt","w",stdout);
#endif
//    ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--) {read(n),read(m);init();scanf("%s%s",s,t);reverse(t,t+m);for(int k=0;k<=10;k++) {char ch;if(k<10) {ch='0'+k;} else {ch='*';}for(int i=0;i<limit;i++) {a[i]=s[i]==ch;b[i]=t[i]==ch;}NTT(a,1),NTT(b,1);for(int i=0;i<limit;i++) {if(k<10) {f[i]=(f[i]+a[i]*b[i])%mod;} else {f[i]=(f[i]-a[i]*b[i]%mod+mod)%mod;}}}NTT(f,-1);LL inv=fastpow(limit,mod-2);for(int i=0;i<=n+m;i++) {f[i]=(f[i]*inv)%mod;}int cnt=0;for(int i=0;i<m;i++) {cnt+=t[i]=='*';}for(int i=0;i<n;i++) {if(i) {sum[i]+=sum[i-1];}sum[i]+=s[i]=='*';}for(int i=m-1;i<n;i++) {f[i]=(f[i]+sum[i]+cnt)%mod;if(i>=m) {f[i]=(f[i]-sum[i-m]+mod)%mod;}}for(int i=m-1;i<n;i++) {ans[m-f[i]]++;}for(int i=0;i<=m;i++) {if(i) {ans[i]+=ans[i-1];}printf("%d\n",ans[i]);}}return 0;
}

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