高考数学经典题(001)

已知$f(x)=lnx-ax$

(1)求$f(x)$的单调区间

(2)已知$f(x)$有2个零点$x_{1}、x_{2}$证明:$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$

$\textbf{解}$

(1)$f(x)$定义域为$(0，+∞)$

当$a=0$时，$f(x)=lnx$是单调递增函数

当$a≠0$时

$$f'(x)=\frac{1}{x}-a$$

令$f'(x)=0$，$1-ax=0,x=\frac{1}{a}$

当$a＞0$时，$(0,\frac{1}{a})$单调递增，($\frac{1}{a}$,+∞)单调递减

当$a＜0$时，$f'(x)＜0$时，所以$f(x)$单调递增

$f(x)=lnx-ax$

不妨令$0＜x_{1}＜x{2}$

则$$lnx_{1}-ax_{1}=0$$ $$lnx_{2}-ax_{2}=0$$ $$lnx_{1}=ax_{1}$$ $$lnx_{2}=ax_{2}$$ 两式相加$$lnx_{1}+lnx_{2}=a(x_{1}+x_{2})$$ 两式相减$$lnx_{2}-lnx_{1}=a(x_{2}-x_{1})$$ $$\frac{1}{a}=\frac{x_{2}-x_{1}}{lnx_{2}-lnx_{1}}$$ 要证$$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$$

只需证$$\frac{1}{ax_{1}}+\frac{1}{ax_{2}}-2≥0$$

即证$$(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}})\frac{x_{2}-x_{1}}{lnx_{2}-lnx{1}}-2≥0$$

同时÷$x_{1}$得到 $$\frac{\frac{x_{2}}{x_{1}}-\frac{x_{1}}{x_{2}}}{ln\frac{x_{2}}{x_{1}}}-2≥0$$ 令$\frac{x_{2}}{x_{1}}=t$，其中$t＞1$

即证$$t-\frac{1}{t}-2lnt≥0$$成立令$g(t)=t-\frac{1}{t}-2lnt$

$$g'(t)=1+\frac{1}{t^{2}}-\frac{2}{t}$$ $$=\frac{(t-1)^{2}}{t^{2}}≥0$$ 所以$g(t)$单调递增

即$$g(t)＞g(1)=0$$ 即$$\frac{1}{lnx_{1}}+\frac{1}{lnx_{2}}≥2$$ 证毕

$\textbf{变式}$

已知函数$f(x)=lnx-ax^{2}$

(1)讨论$f(x)$单调性

(2)若$f(x)$有两个零点，$x_{1}、x_{2}$，证明$x_{1}x_{2}＞e$

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