对拉格朗日乘子法与KKT的理解
在求解最优化问题中,拉格朗日乘子法(Lagrange Multiplier)和KKT(Karush Kuhn Tucker)条件是两种最常用的方法。在有等式约束时使用拉格朗日乘子法,在有不等约束时使用KKT条件。
我们这里提到的最优化问题通常是指对于给定的某一函数,求其在指定作用域上的全局最小值(因为最小值与最大值可以很容易转化,即最大值问题可以转化成最小值问题)。提到KKT条件一般会附带的提一下拉格朗日乘子。对学过高等数学的人来说比较拉格朗日乘子应该会有些印象。二者均是求解最优化问题的方法,不同之处在于应用的情形不同。
一般情况下,最优化问题会碰到一下三种情况:
(1)无约束条件
这是最简单的情况,解决方法通常是函数对变量求导,令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。
(2)等式约束条件
设目标函数为f(x),约束条件为h_k(x),形如:
s.t. 表示subject to ,“受限于”的意思,l表示有l个约束条件。
则解决方法是消元法或者拉格朗日法。消元法比较简单不在赘述,这里主要讲拉格朗日法,因为后面提到的KKT条件是对拉格朗日乘子法的一种泛化。
例如给定椭球:
求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题,即在条件 下,求的最大值。
当然这个问题实际可以先根据条件消去 z (消元法),然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难,甚至是做不到的,这时候就需要用拉格朗日乘数法了。
首先定义拉格朗日函数F(x):
( 其中λk是各个约束条件的待定系数。)
然后解变量的偏导方程:
......,
如果有l个约束条件,就应该有l+1个方程。求出的方程组的解就可能是最优化值(高等数学中提到的极值),将结果带回原方程验证就可得到解。
回到上面的题目,通过拉格朗日乘数法将问题转化为
对求偏导得到
联立前面三个方程得到和,带入第四个方程解之
带入解得最大体积为:
(3)不等式约束条件
设目标函数f(x),不等式约束为g(x),有的教程还会添加上等式约束条件h(x)。此时的约束优化问题描述如下:
则我们定义不等式约束下的拉格朗日函数L,则L表达式为:
其中f(x)是原目标函数,hj(x)是第j个等式约束条件,λj是对应的约束系数,gk是不等式约束,uk是对应的约束系数。
常用的方法是KKT条件,同样地,把所有的不等式约束、等式约束和目标函数全部写为一个式子L(a, b, x)= f(x) + a*g(x)+b*h(x),
KKT条件是说最优值必须满足以下条件:
1)L(a, b, x)对x求导为零;
2)h(x) =0;
3)a*g(x) = 0;
求取这些等式之后就能得到候选最优值。其中第三个式子非常有趣,因为g(x)<=0,如果要满足这个等式,必须a=0或者g(x)=0. 这是SVM的很多重要性质的来源,如支持向量的概念。
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