汽车和山羊问题

题目的背景介绍：

现有三扇门，其中一扇门后是一辆车，另外两扇门后是一头山羊。

选手从1，2，3号三扇门中选出一扇(仅标记，不打开)，接着主持人再从未标记的两扇门中选出一扇打开。

主持人知道每扇门后放的是什么，所以每次主持人都选择后面是羊的那扇门打开。

选手有一次改变自己选择的机会。

最后，打开选手最终选中的那扇门，以选手最终选择的是车为获胜。

请问选手是否需要改变选择？

汽车和山羊问题求解

一、对该问题的枚举分析

是否更换

选择几号门

如果车在一号门后

如果车在二号门后

如果车在三号门后

# 不换

一号

\(√\)

\(×\)

\(×\)

二号

\(×\)

\(√\)

\(×\)

三号

\(×\)

\(×\)

\(√\)

# 换

一号

\(×\)

\(√\)

\(√\)

二号

\(√\)

\(×\)

\(√\)

三号

\(√\)

\(√\)

\(×\)

​令更换选择且成功为事件A，不更换选择且成功为事件B，那么显然我们可以得出二者的概率为：

\[P(A)=\frac{1}{3}\quad\quad\quad P(B)=\frac{2}{3}

\]

二、对该问题的条件概率概率分析

​令更换选择为事件A，不更换选择为事件B，显然

\[P(A)=P(B)=\frac{1}{2}

\]

1. 如果没有更换选择

​车在一、二、三号门后分别为事件a、b、c，则

\[P(a)=P(b)=P(c)=\frac{1}{3}

\]

​

​令选择一、二、三号门分别为事件1，2，3，则

\[P(1)=P(2)=P(3)=\frac{1}{3}

\]

​那么显然没有更换选择且成功的概率设为\(P(\alpha)\)就是

\[P(\alpha)=P(1\cap a)+P(2\cap b)+P(3\cap c)=1/9+1/9+1/9=1/3

\]

​故\(P(\alpha)=1/3\)

2. 如果更换了选择

​显然我们可知如果更换选择，那么如果刚开始选的是对的则最后是错的，刚开始选的是错的则最后是对的

​车在一、二、三号门后分别仍设为事件a、b、c，则

\[P(a)=P(b)=P(c)=\frac{1}{3}

\]

​

​令选择一、二、三号门也分别为事件1，2，3，则

\[P(1)=P(2)=P(3)=\frac{1}{3}

\]

​那么显然更换选择且成功的概率设为\(P(\beta)\)就是

\[P(\beta)=P(2\cap a)+P(3\cap a)+P(1\cap b)+P(3\cap b)+P(1\cap c)+P(2\cap c)\\

=1/9+1/9+1/9+1/9+1/9+1/9=2/3

\]

​故\(P(\beta)=2/3\)

三、基于\(MATLAB\)的模拟实验

先用\(Python\)做了模拟实验

from random import*

TIMES = 10000

nochange=0 #初始化不改选择的次数

change=0 #初始化更改选择的次数

for i in range(TIMES):

Door=randint(0,2) #汽车在哪个门

guess=randint(0,2) #我的选择是哪个门

if Door==guess: #猜对了

nochange+=1 #不改选择的次数+1

else:

change+=1 #更改选择的次数+1

print("不改选择:{}".format(nochange/TIMES))

print("更改选择:{}".format(change/TIMES))

# 以下为测试数据

# 不改选择:0.332 更改选择:0.668

# 不改选择:0.3283 更改选择:0.6717

# 不改选择:0.331 更改选择:0.669

# 不改选择:0.3308 更改选择:0.6692

# 不改选择:0.3369 更改选择:0.6631

可以看到模拟实验的频率都稳定在上述分析得出的理论概率附近

另用\(MATLAB\)也做了模拟

n = 100000;%%n代表随机次数

nochange = 0; %%不改变选择

change = 0;%%改变选择

for i= 1 : n %%车在哪个门后

x = randi([1,3],1);

y = randi([1,3],1); %%我的选择哪个门

if x == y%%选对了

nochange = nochange + 1;%%不改选择的次数+1

end

if x ~= y %%选错了

change = change + 1; %%更改选择的次数+1

end

end

disp(nochange/n); %%输出不改变选择时的获奖概率

disp(change/n); %%输出改变选择时的获奖概率

%%以下为测试数据

%%不改变0.3342 改变0.6658

%%不改变0.3286 改变0.6714

%%不改变0.3351 改变0.6649