动态规划（Dynamic Programming）

理解动态规划的好文：https://www.sohu.com/a/153858619_466939

1、基础

**定义：**递归算法经常会有一些重复的计算，导致程序效率低。动态规划就是解决这个问题的方法。

动态规划的组成部分：

最优子结构：分解问题
边界：递归的终止条件
状态转移方程：递归的方程

动态规划的解题步骤：

分解问题，得到状态转移方程
暴力搜索，找到冗余，通常用纯递归
存储已经计算过的结果，通常用数组和字典
编程时通常采用自底向上思想（递推）

2、走台阶问题

**题目：**有一座10级台阶的楼梯，从下往上走，每跨一步只能向上1级或者2级台阶。要求用程序来求出一共有多少种走法。

递归解法：

int solve(int n)
{if(n < 1)return 0;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;return solve(n-1)+solve(n-2);
}

备忘录解法：

int solve(int n，HashMap<Interger, Interger>map)
{if(n < 1)return 0;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;if(map.contains(n))return map.get(n);else{int value = solve(n-1)+solve(n-2);map.put(n, value);return value;}
}

动态规划解法：

int solve(int n，HashMap<Interger, Interger>map)
{if(n < 1)return 0;if(n == 1)return 1;if(n == 2)return 2;int a = 1;int b = 2:int temp = 0;for(int i=3; i<=n; i++){temp = a + b;a = b;b = temp;}return temp;
}

题目改为一次最多能走k阶台阶

思路：其实是一样的，只要把边界和递归式扩展到 k 即可

// 边界条件, 转化为总共 k 阶台阶，可以任意走，到达k阶有2^(k-1)种走法
num[0] = 1
for(int i=1; i =< k; ++i)num[i] = power(2, i-1);// 递推
for(int j = k+1; j<n+1; ++j)
{z = 1;while(z < k){num[j] += num[j-z];z += 1;}
}

3、打家劫舍问题

**题目：**偷商店，不能连续偷两家，求偷的总额最大

备忘录解法：

vector<int> save;
int solve(vector<int>& nums, int n)
{if(n < 0)return 0;if(save[n] >= 0)return save[n];save[n] = max(solve(nums, n-2)+nums[n], solve(nums, n-1));return save[n];
}
int rob(vector<int>& nums) {int len = nums.size();for(int i=0; i<len; i++)save.push_back(-1);return solve(nums, len-1);
}

动态规划解法：

int rob(vector<int>& nums) {int n = nums.size(); if(n == 0)return 0;if(n == 1)return nums[0];vector<int> save(n, -1);save[0] = nums[0];save[1] = max(nums[0], nums[1]);for(int i=2; i<n; ++i)save[i] = max(nums[i]+save[i-2], save[i-1]);return save[n-1];

4、01背包问题

题目： 给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包，物品 i 的重量是 wi，其价值为 vi ，应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

// 下标为0的元素，没有用到，置为0
int v[N]={0,8,10,6,3,7,2};
int w[N]={0,4,6,2,2,5,1};
int n=6,c=12;int solve()
{// 需要知道的初始值是 m[i][0]，m[0][j] 都等于0，所以数组都初始化为0int m[n+1][c+1] = {0};for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=c;j++){if(j>=w[i])m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);  elsem[i][j]=m[i-1][j];}}return m[n][c]

可以进一步压缩空间，只用2x(c+1)或1x(c+1)大小的数组：

# 2x(c+1)数组
int m[2][c+1] = {0};
m[i%2][j]=max(m[(i-1)%2][j],m[(i-1)%2][j-w[i]]+v[i]);  # 1x(c+1)大小的数组
int m[c+1] = {0};
m[j]=max(m[j],m[j-w[i]]+v[i]);

5、硬币找零

题目： 硬币的种类值列表 coin_list，要找零钱 change 元，问最少需要几个硬币？

递归解法：

def find_coins(coin_list, change):min_coins = changeif change in coin_list:return 1else:for i in [c for c in coin_list if c <= change]:num_coins = 1 + find_coins(coin_list, change-i)if num_coins < min_coins:min_coins = num_coinsreturn min_coinsprint(recDC([1,5,10,25], 63)

备忘录解法：

# save_list 缓存已经算过的零钱最少找币数，列表大小=最初需要找零的值+1，初始值都=0
def find_coins(coin_list, change, save_list):min_coins = changeif change in coin_list:return 1elif save_list[change] > 0:return save_list[change]else:for i in [c for c in coin_list if c <= change]:num_coins = 1 + find_coins(coin_list, change-i, save_list)if num_coins < min_coins:min_coins = num_coinssave_list[change] = min_coinsreturn min_coinsprint(recDC([1,5,10,25], 63, [0]*64))

动态规划解法：

# 递推
def find_coins(coins_list, change, min_coins_list):for num in range(change+1):num_coins = numfor j in [c for c in coins_list if c <= num]:if min_coins_list[num-j] + 1 <= num_coins:num_coins = min_coins_list[num-j]+1min_coins_list[num] = num_coinsreturn min_coins_list[change]print(find_coins([1, 5, 10, 25], 63, [0]*64))

GOOD LUCK!

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