例题一
- 例1.2 求函数y=f(x)=ln⁡(x+x2+1)y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})y=f(x)=ln(x+x2+1)的反函数f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)的表达式及其定义域。
习题一
- 1.4 求函数y=2x+∣2−x∣,x∈(−∞,+∞)y=2x+|2-x|,x\in(-\infty,+\infty)y=2x+∣2−x∣,x∈(−∞,+∞)的反函数。
写在最后

本讲主要介绍了高等数学常用基础知识即函数的相关基本概念。

例题一

例1.2 求函数y=f(x)=ln⁡(x+x2+1)y=f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})y=f(x)=ln(x+x2+1)的反函数f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)的表达式及其定义域。

解由题意得
−y=−ln⁡(x+x2+1)=ln⁡1x+x2+1=ln⁡x2+1−x(x2+1+x)(x2+1−x)=ln⁡(x2+1−x).\begin{aligned} -y&=-\ln(x+\sqrt{x^2+1})=\ln\cfrac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\\ &=\ln\cfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)}=\ln(\sqrt{x^2+1}-x). \end{aligned} −y=−ln(x+x2+1)=lnx+x2+11=ln(x2+1+x)(x2+1−x)x2+1−x=ln(x2+1−x).
故e−y=x2+1−xe^{-y}=\sqrt{x^2+1}-xe−y=x2+1−x，再由y=f(x)y=f(x)y=f(x)的表达式有ey=x2+1+xe^{y}=\sqrt{x^2+1}+xey=x2+1+x，
于是得
x=12(ey−e−y).x=\cfrac{1}{2}(e^y-e^{-y}). x=21(ey−e−y).
交换上式中x,yx,yx,y的位置后就是y=f(x)y=f(x)y=f(x)的反函数，即
y=f−1(x)=12(ex−e−x).y=f^{-1}(x)=\cfrac{1}{2}(e^x-e^{-x}). y=f−1(x)=21(ex−e−x).
（这道题主要利用了凑整的方法求解）

习题一

1.4 求函数y=2x+∣2−x∣,x∈(−∞,+∞)y=2x+|2-x|,x\in(-\infty,+\infty)y=2x+∣2−x∣,x∈(−∞,+∞)的反函数。

解对任意给定的yyy，视xxx为未知数，解方程2x+∣2−x∣=y2x+|2-x|=y2x+∣2−x∣=y，为了去掉绝对值，将方程改写为
y={x+2,x⩽23x−2,x>2.y=\begin{cases}x+2,&x\leqslant2\\3x-2,&x>2.\end{cases} y={x+2,3x−2,x⩽2x>2.
当x⩽2x\leqslant2x⩽2时，y=x+2⇒x=y−2,y⩽4y=x+2\Rightarrow x=y-2,y\leqslant4y=x+2⇒x=y−2,y⩽4；当x>2x>2x>2时，y=3x−2⇒x=y+23,y>4y=3x-2\Rightarrow x=\cfrac{y+2}{3},y>4y=3x−2⇒x=3y+2,y>4。
综上所述即得
x={y−2,y⩽4y+23,y>4⇒x,y互换y={x−2,x⩽4x+23,x>4.x=\begin{cases}y-2,&y\leqslant4\\\cfrac{y+2}{3},&y>4\end{cases}\xRightarrow{x,y\text{互换}}y=\begin{cases}x-2,&x\leqslant4\\\cfrac{x+2}{3},&x>4.\end{cases} x=⎩⎨⎧y−2,3y+2,y⩽4y>4x,y互换y=⎩⎨⎧x−2,3x+2,x⩽4x>4.
于是，若记y=2x+∣2−x∣,x∈(−∞,+∞)y=2x+|2-x|,x\in(-\infty,+\infty)y=2x+∣2−x∣,x∈(−∞,+∞)，则有f−1(x)={x−2,x⩽4x+23,x>4.f^{-1}(x)=\begin{cases}x-2,&x\leqslant4\\\cfrac{x+2}{3},&x>4.\end{cases}f−1(x)=⎩⎨⎧x−2,3x+2,x⩽4x>4.
（这道题主要利用了分段函数的方法求解）

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