员工效率低下，责任在管理层的数学解释和分析

015年春节后，我和几个朋友聊天，聊到管理方面，我告诉他们如果员工工作效率不高，管理层占主要责任。他们对我的观点半信半疑，我说我能证明这一点，他们很好奇也很希望看到。今天我就尝试证明一下，请各位指正。

论题：员工效率低下，管理者占主要责任。

证明：

我们知道公司、机构等组织都是由于合作的需要。人与人之间，部门与部门之间，公司与公司之间合作都非常重要。所谓管理，其目的是使每个员工能最大程度发挥其效率，而使部门和企业达到其目标。

为了证明本论题，我们需要对其进行抽象和简化，从分析两个个体的合作开始。

假设有两个个体，他们为了共赢而产生合作关系：

第一个个体所投入的精力和资源为a

第二个个体所投入的精力和资源为b

它们的共同收益为：4(a+b+kab)4(a+b+kab)4(a+b+kab)

这里a,b可以想象成小时，k可以是耦合程度，即两人合作所带来的额外好处。例如一个历史学家和一个政治学家同写一本书，则关于政治历史的观点可能更为精辟。

    我们不妨设 a∈[０,4],b∈[０,4],k∈[0,1/4]，这些数字并不重要，只是为了化简方便。

OK，请读者耐心往下看，这里没有深奥复杂的数学！

  其每个个体的利润为：

A=2(a+b+kab)−a2A = 2(a+b+kab) - a^2A=2(a+b+kab)−a2

B=2(a+b+kab)−b2B = 2(a+b+kab) - b^2B=2(a+b+kab)−b2

这里平方项表示其成本，成本不是简简单单的其工作时间，还包括其机会成本、情绪等等。
每个个体都追求其利益最大化，所以我们需要求上面两个公式的极大值。很明显，这两个公式是二次函数，图像为抛物线，开口向下，有极大值存在。也可以令其一价导数等于0来求极值（2价导数小于0）。从而得到：

argmax(A)a=1+kbargmax(A)_a = 1+kbargmax(A)a=1+kb （1）

argmax(B)b=1+kaargmax(B)_b = 1+kaargmax(B)b=1+ka （2）

实际上，上式求出了两个个体的最佳策略（利润最大化），可以看出每个人的最佳策略都和另外一个人有关。为了进一步简化问题，我们设k=1/4,这样我们可以求出具体的值。

其实，这两个个体最佳策略是完全对称的，所以他们的最佳策略必定相同，也就是有：

a=1+ka,k=1/4a = 1 + ka, k=1/4a=1+ka,k=1/4 , 解得 a=b=1/(1−k)=4/3a = b = 1/(1-k) = 4/3a=b=1/(1−k)=4/3

为了更清晰地解释这个问题，我们画出函数图像以进一步分析

如图中红线和绿线为两个个体的最佳策略的图像（公式（1）和（２）），我们可以看到ａ和ｂ只能取［１，２］之间的值，也就是说不在这个区间都是非最优策略，所以实际上可选区间只在黄线交叉形成的正方形内。

为了看清楚一些，我们把正方型抠出来重画一下：

各位，是否看出这张图和上张图没有什么区别，只是坐标不一样。最优策略的可选区间又缩小到［５／４，３／２］。我们可以重复这个过程，每次都排除非最优策略来最终收敛于４／３，也就是两个直线的交点。

这个点从博弈论上来说：就是纳什均衡。

很显然，每个个体的这种投入并非高效率的，但却是一种常态，并且最终收敛于纳什均衡，主要原因是任何一方多付出需要承担全部边际成本，却只能得到一半边际利益。类似这种现象从经济学上讲，也可以认为是一种外部性。

如何改变这种现象，从而使双方都能发挥最优效率呢？假如是两个独立法人，可以用合同来约束他们的行为；如果是公司的两个员工，就需要有管理制度和管理层人员来对他们进行制约和激励。

综上所述，如果说员工效率低下，那么主要责任应该由管理层来承担。

大家同意否？

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