Putnam试题

For any positive integer n let denote the closest integer to $\sqrt{n}$，Evaluate $$\sum_{n=1}^{∞}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^{n}}$$

Solution:

Since $(k-\frac{1}{2})^{2}=k^{2}-k+\frac{1}{4}$ and $(k+\frac{1}{2})^{2}=k^{2}+k+\frac{1}{4}$

we have that=k，if and only if $k^{2}-k+1≤n≤k^{2}+k$，Hence $$\sum_{n=1}^{∞}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^{n}}$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}\sum_{n=k^{2}-k+1}^{k^{2}+k}\frac{2^{k}+2^{-k}}{2^{n}}$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}(2^{k}+2^{-k})(2^{-m^{2}+k}-2^{-k^{2}-k})$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}(2^{-k(k-2)}-2^{-k(k+2)})$$ $$=\sum_{k=1}^{∞}2^{-k(k-2)}-\sum_{k=3}^{∞}2^{-k(k-2)}$$ $$=3$$

Alternate solution: rewrite the sum as $\sum_{n=1}^{∞} 2^{-n+<n>}+\sum_{n=1}^{∞} 2^{-n-<n>}$ Note that $<n>≠<n+1>$ if and only if $n=m^{2}+m$ for some m thus $n+<n>$ and $n-<n>$ each increase by 1 except at $n=m^{2}+m$ where the former skips from $m^{2}+2m$ tp $m^{2}+2m+2$ and the latter repeats the value $m^{2}$ thus the sums are $$\sum_{n=1}^{∞}2^{-n}-\sum_{m=1}^{∞}2^{-m^{2}}+\sum_{n=0}^{∞}2^{-n}+\sum_{m=1}^{∞}2^{-m^{2}}$$

$$=2+1=3$$

中国科大16年自主招生题

数列${a_{n}}$中，$a_{n}$是与$\sqrt{n}$最接近的整数，求$\sum_{n=1}^{2016}\frac{1}{a_{n}}$

解:设$a_{n}=k$，则$k-\frac{1}{2}＜\sqrt{n}＜k+\frac{1}{2}$ $$k^{2}-k+\frac{1}{4}＜n＜k^{2}+k+\frac{1}{4}$$ $$k^{2}-k+1≤n≤k^{2}+k$$ 所以使$a_{n}=k$的$n$有$2k$个

考虑到 $$45^{2}-45+1≤2016≤45^{2}+45$$ 即$$ 1981≤2016≤2070$$ 所以$${a_{n}=1的n有2个}$$ $${a_{n}=2的n有4个}$$ $$....... $$ $${a_{n}=44的n有88个}$$ $${a_{n}=45的n有36个}$$ 所以$$\sum_{n=1}^{2016}\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{1}+\frac{4}{2}+....\frac{88}{44}+\frac{36}{45}=88.8$$

${\color{Teal} {{Putnam竞赛}}}$ 世界上最难的数学竞赛 普特南数学竞赛是由伊丽莎白洛厄尔普特南为纪念其逝去的丈夫威廉姆斯洛厄尔普特南所举办的比赛, 现由美国数学协会承办. 每年的比赛都于十二月的第一个星期六进行. 参赛者为所有在美国以及加拿大的大学生, 且任何参赛者参赛次数不得超过四次. 比赛分为两部分, 分别为上午(A试)与下午(B试). 每一试用时三小时且包含六道题(1938-1952年为7道题), 中间休息为午饭时间. 每一道题的分值为十分. 最后会有团体赛排名与个人赛排名. 前五名的学校会拿到一部分的奖金. 前五名的学生会获得威廉姆斯洛厄尔普特南学者的称号且每人获得2500美金的奖赏. 6-15名的学生会获得1000美金的奖赏. 16-25名的学生会获得250美金的奖赏. 前100名学生获得荣誉奖. 他们的名字会以首字母排序的方式刊登在十月份的美国数学月刊. 每一年得分最高的女性参赛者会被授予伊丽莎白洛厄尔普特南学者的称号并获得1000美金的奖赏.