泰勒中值定理

条件：f(x)在x=x0领域内(n+1)f(x)在x=x_0领域内(n+1)f(x)在x=x0领域内(n+1)阶可导

结论：f(x)=Pn(x)+Rn(x)⟶Pn(x)为主项，Rn(x)为次项f(x)=P_n(x)+R_n(x) \longrightarrow P_n(x)为主项，R_n(x)为次项f(x)=Pn(x)+Rn(x)⟶Pn(x)为主项，Rn(x)为次项

Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n\LARGE P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^nPn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+...+n!f(n)(x0)(x−x0)n

Rn(x)={f(n+1)(ξ)(n+1)!⟹拉格朗日型预项o((x−x0)n)⟹皮亚诺型余项\huge R_n(x)= \begin{cases} \frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!} \Longrightarrow 拉格朗日型预项 \\ o((x-x_0)^n) \Longrightarrow 皮亚诺型余项 \end{cases} Rn(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧(n+1)!f(n+1)(ξ)⟹拉格朗日型预项o((x−x0)n)⟹皮亚诺型余项

麦克劳林公式

ex=1+x+x22!+x33!+...++xnn!+o(xn)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...++\frac{x^n}{n!}+o(x^n)ex=1+x+2!x2+3!x3+...++n!xn+o(xn)

sin⁡x=x−x33!+x55!+...+o(x7)\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+o(x^7)sinx=x−3!x3+5!x5+...+o(x7)

cos⁡x=1−x22!+x44!+...+o(x6)\cos x= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+o(x^6)cosx=1−2!x2+4!x4+...+o(x6)

11−x=1+x+x2+x3+...+xn+o(xn)\frac{1}{1-x} = 1 +x +x^2 +x^3+...+x^n+o(x^n)1−x1=1+x+x2+x3+...+xn+o(xn)

11+x=1−x+x2−x3+...+(−1)nxn+o(xn)\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n)1+x1=1−x+x2−x3+...+(−1)nxn+o(xn)

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+o(x4)\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+o(x4)

(1+x)a=1+ax+a(a−1)2!x2+a(a−1)(a−2)3!x3+...+o(x3)(1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+o(x^3)(1+x)a=1+ax+2!a(a−1)x2+3!a(a−1)(a−2)x3+...+o(x3)

使用泰勒展开公式求极限

例题1：lim⁡x→0x−sin⁡xx3例题1：\underset{x\to 0}{\lim} \frac{x-\sin x}{x^3}例题1：x→0limx3x−sinx
解：
1.把sin⁡x展开到阶，跟分母同阶\sin x 展开到阶，跟分母同阶sinx展开到阶，跟分母同阶
原式=lim⁡x→0x−(x−x33!+o(x3))x3=x33!+o(x3)x3原式=\underset{x \to 0}{\lim} \frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))}{x^3}=\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{x^3}原式=x→0limx3x−(x−3!x3+o(x3))=x33!x3+o(x3)

=lim⁡x→016x3+o(x3)x3=16=\underset{x \to 0}{\lim}\frac{\frac{1}{6}x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}=x→0limx361x3+o(x3)=61

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拉格朗日中值定理,柯西中值定理,积分中值定理,广义积分中值定理的证明.( 纯手写,细节)
这里不想再编辑了,需要的点链接去看 : Notion – The all-in-one workspace for your notes, tasks, wikis, and databases. 勿 ...
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这一篇帖子主要介绍人类如何从一个基于几何直观或直觉的计算技巧或计算方法,进化到逻辑基础严密的公理体系的例子,想说明人类抽象的另外一个方向:语言抽象(结构抽象已经在介绍伽罗华群论时介绍过). >& ...

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