文章目录

  • 第三章 一元函数积分概念、计算及应用
      • 一、一元函数积分的概念、性质与基本定理
        • （一）原函数与不定积分的概念和基本性质
        • （二）定积分的概念与基本性质
        • （三）基本定理
        • （四）奇偶函数与周期函数的积分性质
        • （五）利用定积分求某些nnn项和式数列的极限
      • 二、基本积分表与积分法则
        • （一）基本积分表
        • （二）积分法则
      • 三、几种特殊类型函数的积分法
        • （一）有理函数的积分
        • （二）简单无理函数的积分
        • （三）三角函数有理式的积分
      • 四、积分计算技巧
      • 五、反常积分（广义积分）
        • （一）反常积分（广义积分）的概念
        • （二）反常积分（广义积分）的运算法则与计算
      • 六、积分学应用的基本方法——微元分析法
      • 七、一元函数积分学的几何应用
        • （一）平面图形的面积
        • （二）平面曲线的弧微分与弧长
        • （三）平面曲线的曲率
        • （四）空间图形的体积
        • （五）旋转体的（侧）面积
      • 八、一元函数积分学的物理应用
        • （一）液体静压力
        • （二）变力做功
        • （三）引力问题
        • （四）质心或形心问题
        • （五）函数在区间上的平均值
    • 后记：

分部积分表格法指路

第三章 一元函数积分概念、计算及应用

一、一元函数积分的概念、性质与基本定理

（一）原函数与不定积分的概念和基本性质
  1. 原函数与不定积分的定义
  2. 原函数与不定积分的关系
    注意常数C
  3. 求不定积分与求微分（导数）的关系——互为逆运算
    注意常数C
  4. 不定积分的简单性质，（提k(k≠0)，加减）
（二）定积分的概念与基本性质

  1. 定积分的定义

    ① 积分区间有限，被积函数有限
    ② 构造积分和时，小区间的分割是任意
    ③ 定积分存在时，其值只与被积函数与积分区间有关，与积分变量的字母无关

  2. 定积分的几何意义（注意正负）

  3. 函数在区间上的可积性
    ① 函数在闭区间有界
    ② 以下三条满足其一：

  • 闭区间连续
  • 闭区间只有有限个间断点
  • 闭区间单调
  1. 定积分的基本性质
    ① 线性性质（加减）
    ② 对区间的可加性质（中间点可在区间内，也可在区间外）
    ③ 改变有限个点的函数值不改变其可积性与积分值
    ④ 比较定理，区间内函数小积分就小

推论 1：区间内恒大于等于0函数，积分值大于等于0
推论 2：积分的绝对值小于等于绝对值的积分
推论 3：估值定理：m<=f(x)<=Mm<=f(x)<=Mm<=f(x)<=M且不为常值函数
m(b−a)<∫abf(x)dx<M(b−a)m(b-a)<\int_{a}^{b}f(x)dx<M(b-a)m(b−a)<∫ab​f(x)dx<M(b−a)

⑤ 积分中值定理
⑥ 连续非负函数的积分性质（参考上面的几个推论）
⑦ 对于区间内的任意子区间的定积分都为0时，有f(x)≡0f(x)\equiv0f(x)≡0

（三）基本定理
  1. 变限积分函数的连续性与可导性
    3.1
    ① 若闭区间可积，则变上限积分是连续函数
    ② 若闭区间连续，则变上限积分可导

推论 1：变下限积分
推论 2：复合
推论 3：复合

  1. 原函数的有关问题
    ① 原函数存在定理
    3.2 若连续，变上限积分函数是一个原函数
    若有第一类间断点则没有原函数
    ② 不定积分与变限积分的关系
    若连续，则
    ③ 初等函数一定有原函数，但是原函数不一定是初等函数

  2. 牛顿-莱布尼兹公式
    闭区间

推论 1：开区间存在原函数且都连续，则
证明：用洛必达
推论 2：开区间存在原函数，且端点处分别左右连续则
证明：引入辅助函数
推论 3：区间内有间断点

（四）奇偶函数与周期函数的积分性质
  1. 对称区间上奇偶函数的定积分

① 二倍， 0
② 偶积奇，奇积偶

  1. 周期函数的积分
    3.5 如果在一个周期上可积，那么
  • 以T为长度的区间积分值相同
  • 变上限积分是T周期函数的充要条件，T长度区间内积分为0
  • 全体原函数以T为周期的充要条件,T长度区间内积分为0
（五）利用定积分求某些nnn项和式数列的极限

条件：闭区间连续
具体题目见第一章

二、基本积分表与积分法则

（一）基本积分表


（二）积分法则

  1. 分项积分法

  2. 分段积分法
    ① 定积分
    ② 不定积分

  • 连续拼接法
  • 变限积分法
  1. 换元积分法
    ① 不定积分的换元积分法

第一换元积分法（凑微分法）

② 第二换元积分法

  • 三角函数替换
  • 幂函数替换
  • 倒替换
  1. 分部函数法
    ① 不定积分的分部积分法
    条件：uuu , vvv都有连续导函数
    ② 定积分的分部积分法
    条件：uuu , vvv都导函数闭区间连续
  • 写成∫udv\int_{}^{}udv∫​udv或者∫uv′dx\int_{}uv'dx∫​uv′dx的形式

  • 多次应用分部积分法，直到求出结果
  • 有时可导出原函数的方程，不要遗漏常数CCC
  • 用分部积分法可导出递推公式

③ 表格法


三、几种特殊类型函数的积分法

（一）有理函数的积分
（二）简单无理函数的积分

简单化简后，可使用第二换元积分法

（三）三角函数有理式的积分

万能代换

四、积分计算技巧

  1. 几何意义
  2. 奇偶性
  3. 积分公式，华里士公式（点火）
  4. 被积函数的分解与结合

五、反常积分（广义积分）

（一）反常积分（广义积分）的概念

  1. 无穷区间上的反常积分的概念

  2. 无界函数的反常积分的概念
    瑕积分，瑕点

  3. 按定义判断反常积分的敛散性与计算反常积分值

  4. 常见反常积分

（二）反常积分（广义积分）的运算法则与计算

六、积分学应用的基本方法——微元分析法

七、一元函数积分学的几何应用

（一）平面图形的面积
  1. 直角坐标系中的平面图形的面积
  2. 极坐标
  3. 曲线方程
（二）平面曲线的弧微分与弧长
（三）平面曲线的曲率
  1. 概念
  2. 曲率计算公式
（四）空间图形的体积
  1. 平行截面面积为已知的立体的体积
  2. 旋转体的体积
（五）旋转体的（侧）面积
  1. 圆台的侧面积公式
  2. 直角坐标系下的计算公式
  3. 参数方程下计算公式
  4. 极坐标公式

八、一元函数积分学的物理应用

（一）液体静压力
（二）变力做功
（三）引力问题
（四）质心或形心问题
  1. 均匀线密度为ρρρ的质心（形心）问题
  2. 均匀密度平面图形的质心（形心）
（五）函数在区间上的平均值

公式

常考题型约有十五种

后记：

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