原标题：奇妙一招：如何用“尺规作图”作出椭圆双曲线抛物线？

许兴华数学(图片来自万邦朝圣，特此感谢！)

众所周知，在高中数学学习过程中，如果学习到“椭圆、双曲线、抛物线”(简称为圆锥曲线)这一内容时，为了加深学生对圆锥曲线三个定义的理解，教师一般都要做出这三种图形。而作出这三种圆锥曲线图形的有效方法，目前比较流行的当然是运用“几何画板”方法(这个方法，教师在课堂上可以分别演示给学生观看)，但在上课时，由于并不是每个学生都有一台电脑，所以我们教师就做不到，让人人动手来亲自画圆锥曲线。

有鉴于此，今天，我们就建议各位老师给学生来一个“奇妙一招”：如何用“尺规作图”作出椭圆、双曲线和抛物线？用尺规作图来作做圆锥曲线的图形，效果是显而易见的：每个人都可以有圆规和三角板，在课堂上能做到让全班同学人人动手，这对学生深刻理解三种“圆锥曲线”的定义是有非常大的帮助的。

(首先，大家须记住：“尺规作图”是指用圆规和没有刻度的直尺来作几何图形的一种方法)

【一】用尺规作图作出椭圆(基本步骤和方法)

1、先作出两条互相垂直的直线分别作为x轴和y轴，它们的交点为原点O，任意给出两条线段AB=2a，EF=2c(a>c>0),(此时E、F即为椭圆的两个焦点)，在x轴上依次截取OA=OB=a,OE=OF=c.于是，得到点A、B是椭圆上的两个点；

2、在线段EF上任取一点C，以E为圆心、AC为半径画圆C，以F为圆心、BC为半径画圆F，两圆相交于G、H两点，则又得到椭圆上的两点G,H(如下图1)。

3、在线段EF上任取另一点J，以E为圆心、AJ为半径画圆E，以F为圆心、BJ为半径画圆F，两圆相交于I、K两点，则又得到椭圆上的两点I,K(如下图2)。

4.在线段EF上，模仿步骤3，不断地改变J点的位置，依照上面方法可画出椭圆上其它的点L、M，......，(如图3，图4)

5.用光滑的曲线依次把以上得到的点A、G、I、L、H、K、M，......连结起来,我们就得到了所要作的椭圆的图形(如图4).

证明从略，请读者自己证明一下。

【二】用尺规作图作出双曲线(基本步骤和方法)

1、先作出两条互相垂直的直线分别作为x轴和y轴，它们的交点为原点O，任意给出两条线段AB=2a，EF=2c(c>a>0),在x轴上依次截取OA=OB=a,OE=OF=c.(其实，E、F即为两个焦点)。于是，得到点A、B是双曲线上的两个点；

2、以E为圆心、2a为半径画圆E，过点E任意作一条直线CD交圆E于一点D，连结DF，作DF的垂直平分线交直线DE于C点，则又得到双曲线上的一点C(如下图5)；

3.模仿上面步骤2，不断地改变D点的位置为D1，D2，D3，......，依照上面方法可画出双曲线上其它的点H、L，......，(如图6，图7)

4.用光滑的曲线依次把以上得到的点A、G、I、L、H、K、M，......连结起来,我们就得到了所要作的双曲线左支的图形(如图8).

5.完全类似于以上的步骤和方法可画出双曲线的右支(如图8).

证明从略，请读者自己证明一下。

【三】用尺规作图作出抛物线(基本步骤和方法)

1、由抛物线的定义知，抛物线上任意一点B到定点F和定直线L的距离相等。我们先作出一个定点F和一条定直线L(定点F不在定直线L上)，过点F作L的垂线，垂足为A1，再取线段FA1的中点B1，于是，得到点B1是抛物线上的一个点；

2、在直线L上任意取一个异于点A1的点A2，连结FA2，作线段FA2的垂直平分线交过A2而平行于x轴的直线于点B2，连结FB2，则又得到抛物线上的一点B2(如上图9)；

3.模仿上面步骤2，不断地改变A2点的位置为A3，A4，A5，......，依照上面方法可画出抛物线上其它的点B3、B4，B5......，(如图9)

4.用光滑的曲线依次把以上得到的点B1、B2、B3、B4、B5、B6、......连结起来,我们就得到了所要作的抛物线的图形(如图9).

证明从略，请读者自己证明一下。

【关于“许兴华数学”】

本公众号是南宁三中许兴华老师的微信公众号(许兴华老师是中学高级教师，南宁市学科带头人)，曾荣获得2016年数学文化杂志社主办的携手北京大学数学文化节“全国最红数学公众号”评选全国第一名。

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