思考伯努利试验的两种组合思想

@(概率论)

伯努利试验(Bernoulli experiment)的定义

先从最基本的定义开始思考：
伯努利试验(Bernoulli experiment)：是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验。其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。然后我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么我们就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。

要点
1.“在相同条件下”意在说明：每一次试验的结果不会受其它实验结果的影响。事件之间相互独立。
2.判断某种试验是否为伯努利试验的关键是：首先，必须是重复的试验，即多次试验，而非一次试验；其次，每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，即事件发生的概率没有相互之间的影响。

如果单纯的按照定义出题，那么就是高中的难度了。即只需要简单记忆:X∼B(n,p),p是发生的概率。X\sim B(n,p),p是发生的概率。X只是关注一件事情的发生或不发生。

而在大学难度下，需要的是能够识别事件的组合，抽出多个伯努利概型。

假设是X，Y都是伯努利概型，也即n次试验下，每次发生的概率都是p。在每个变量做n次，能不能两个一起做，这样只需要n次，就暗含了两个伯努利概型呢？是可以的，只需要X,Y是不相容的即可。

我们看一道习题。

(2016-8) 随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1,A2,A3A_1 , A_2 , A_3 ，且三种结果发生的概率均为 13\frac{1}{3} ，将试验 E 独立重复做 2 次， X 表示 2 次试验中结果 A1A_1 发生的次数，Y 表示 2 次试验中结果A2A_2 发生的次数，则 X 与Y 的相
关系数为−12⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ \underline{-\frac{1}{2}}

分析：随机试验有三种两两不相容的结果。我们站在每一个结果上看问题。每种结果发生的概率是13\frac{1}{3}，不发生的概率就是23\frac{2}{3}
那么n次试验下，这个结果发生的次数就是伯努利概型。现在是三个结果，且他们不会同时发生，即不相容，因此，这是三个伯努利概型在一次n重试验下的组合。

明白了这一点，问题将非常简单。

X∼B(2,13)→EX=np=23,DX=np(1−p)=49X\sim B(2,\frac{1}{3}) \rightarrow EX = np = \frac{2}{3},DX = np(1-p) = \frac{4}{9}

Y∼B(2,13)→EY=np=23,DY=np(1−p)=49Y\sim B(2,\frac{1}{3})\rightarrow EY = np = \frac{2}{3},DY = np(1-p) = \frac{4}{9}

而，根据期望的本质定义：

EXY=∑i=02∑j=02i⋅j⋅P(X=i,Y=j)=1⋅1⋅P(XY=1)

EXY = \sum_{i=0}^{2} \sum_{j=0}^{2}i\cdot j \cdot P(X=i,Y=j) \\ = 1\cdot 1 \cdot P(XY=1)

P(XY=1)P(XY=1)可以有两种情况，先是X=1事件发生，概率是13\frac{1}{3}，再是Y=1事件发生，概率也是13\frac{1}{3}，总的概率是19\frac{1}{9}。

但是也可以Y=1先发生，再X=1发生，也是19\frac{1}{9}.

于是P(XY=1)=29P(XY=1) = \frac{2}{9}

代入，

ρXY=cov(X,Y)DX‾‾‾‾√DY‾‾‾√=EXY−EXEYDX‾‾‾‾√DY‾‾‾√=−12

\rho_{XY} = \frac{cov(X,Y)}{\sqrt {DX} \sqrt {DY}}\\ = \frac{EXY - EXEY}{\sqrt {DX} \sqrt {DY}} = -\frac{1}{2}

本篇文章主要关注的是伯努利概型的组合问题。

当然本题最佳的方式是枚举法。

事件组合：

A1,A2→19A1,A3→19A2,A1→19A2,A3→19A3,A1→19A3,A2→19A1,A1→19A2,A2→19A3,A3→19

A_1,A_2 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_1,A_3 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_2,A_1 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_2,A_3 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_3,A_1 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_3,A_2 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_1,A_1 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_2,A_2 \rightarrow \frac{1}{9}\\ A_3,A_3 \rightarrow \frac{1}{9}\\

X,YX,Y是一样的事情，所以只用求一个即可。

X=0,1,2EX=0⋅blah+⋅19+19+19+19+2⋅19=23,DX=EX2−(EX)2=49

X = 0,1,2\\ EX = 0\cdot blah + \cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+2\cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{3} , \\ DX = EX^2 - (EX)^2 = \frac{4}{9}

EXY=P(X=0,Y=?)⋅0+P(X=?,Y=0)⋅0+P(X=1,Y=1)⋅1+P(Y=1,X=1)⋅1=29

EXY = P(X=0,Y=?)\cdot 0+P(X=?,Y=0)\cdot 0 + P(X=1,Y=1)\cdot 1 +P(Y=1,X=1)\cdot 1 = \frac{2}{9}
z注意到时间发生的次序不同，则整体事件不同。

由此一样代入求解即可。

2016.12.23 8:21 pm update：我觉得这里我犯了一个根本性的错误。

然后：

2016.12.23 8:23 pm update : 我觉得我还是对的。