文章目录

Rank Relaxed Heap
- Pair transformation
- Clean
- Active sibling transformation
- Good sibling transformation
Run Relaxed Heap
- Singleton transformation
- - (1)
  - (2.1)
  - (2.2)
  - (3)
- Run transformation
- - （1）
  - （2）
尾声

堆的进化之旅的分支——松弛堆。
为记录算法研讨课精彩报告而生。

1987年，Michael L. Fredman 与 Robert E. Tarjan志得意满地公开发表了斐波那契堆，分操作复杂度都优化到了那时也是现在为止最好的程度：两个O(1)加1个O(log n)。他们满心以为已经到达了堆进化之旅的尽头，但可惜在这趟旅途的终点已经被Driscoll·Gabow占据。1988年，前后脚，Driscoll·Gabow发表了松弛堆，复杂度分析上与斐波那契堆处于同一水平，但他的常数项却小于斐波堆。接下来几年中，原本为推广斐波那契堆的时间，却屡屡让松弛堆出尽风头。那什么是松弛堆呢？

松弛堆

Operation	Linked List	Binary Heap	Binomial Heap	Fibonaaci Heap	Relaxed Heap
Push	O(1)	O(log n)	O(1) amortized	O(1) amortized	O(1) amortized
Pop_min	O(n)	O(log n)	O(log n)	O(log n) amortized	O(log n) amortized
Decrease_key	O(1)	O(log n)	O(log n)	O(1) amortized	O(1) amortized

创造一个标记：好节点或坏节点。
如果一个节点是根节点或者符合堆有序（比父亲节点要大），那么就是好节点，否则是坏节点。
还有active(活跃)标记，简单地说，在更新关键字之后呢，它有可能不符合堆有序了，是潜在的威胁，那么我们把它标记为活跃节点，意思是说，注意这个嫌疑犯，别让它干坏事，这样看来和坏小子bad node又有区别，但实际上我们姑且认为它们是一样的。
同时有结论：所有坏节点都是活跃节点。

为介绍具体操作，我们创造4种标记符号，

孩子是好的，那么标记上指向父亲的箭头；
孩子是新产生的活跃节点，那么把与父亲连接的边画成虚线；
如果孩子的状态未知，就什么也不做；
孩子是活跃的坏节点，即不满足堆特性，标记上叉；

就其具体操作来说，可以把松弛堆分为两类，我们首先来看Rank松弛堆，它的定义有两项，即对每一个数字 r 来说，有r 个孩子的节点最多有 1 个active 顶点，并且对每一个active顶点，都是最后一个孩子。为了满足这个定义，当出现一些不符合的情况时，我们可以执行四种操作，将其转化为Rank松弛堆，分别是pair transformation，也就是针对一对相同堆的操作；clean，也就是清理操作；active sibling transform，针对两个活跃节点的操作；good sibling transform，针对其相邻节点是好节点的情况。

Rank Relaxed Heap

Pair transformation

Clean

接下来是clean清理操作，因为从图中我们可以看出活跃节点x并没有如定义里指出那样是最后一个节点，这时我们就可以找到它的最后一个兄弟节点q’的最后一个儿子节点，然后将他们进行交换，实现将活跃节点变成最后一个节点的要求，这里我们也只是进行了1个交换操作，因此时间复杂度也为O(1)

Active sibling transformation

第三个是active sibling transformation操作，此操作针对有两个活跃节点的情况，他们是兄弟节点，且有r个孩子的节点a位于倒数第二个孩子节点位置，有r+1个孩子节点的s节点位于最后一个孩子节点的位置，这也是不符合定义要求的，因为定义要求是每棵树只准有一个活跃的子节点，为了调整，我们将以p,a,s为根节点的子树拆下，在这里我们注意到一个细节，因为a是坏节点，所以a的键值大于p的键值，因此将a子树和p子树进行合并，因为都有r个孩子，并且a当父亲节点，因为a的键值比较小。合并a和p后，a和s都是有r+1个孩子的节点，因此我们就可以仿照之前的操作，将a和s合并，选取他们两个中较小的作为父节点c，连接到节点g下，同样的，因为是新产生的活跃节点，因此我们以虚线连接c和g，这都是O(1)操作，复杂度为O(1)

Good sibling transformation

最后是good sibling transformation操作，顾名思义，因为活跃节点a的兄弟节点s是好节点，这里可以分两种情况来讨论，（1）若s节点的最后一个孩子节点c是坏节点，那么就将a和c拆下，并仿照上述操作，将其合并为有r+1个孩子节点的c，这时，p和s节点的组合使得p也有r+1个孩子，因此p和c也可进行合并（2）若s节点的最后一个孩子节点是好节点，其实对这个情况我们并不陌生，即刚刚展示的clean操作，最终可以看出这一步操作仍为常数步，时间复杂度为O(1)

Run Relaxed Heap

在松弛堆中另一类是Run松弛堆，它满足两个条件：活跃点数目，二项式树的个数，因此为了保证堆为Run松弛堆，操作可分成Singleton transformation操作和Run transformation这里强调两个概念， singleton 是不在一个运行里面的一个单独的活动节点，run是一个活跃的兄弟序列。下面我们来看具体操作：

Singleton transformation

(1)

Singleton transformation有3种情况，我们先来看第一种，PPT中这张图是不是很眼熟，没错，和pair transformation相同，只不过现在是以单个活跃节点的角度来进行操作，而pair transformation是以子树的角度来来进行操作，类似的，最终复杂度为O(1)。

我们这里采用了一个很重要的思想来讲解，类似于NP完全问题的证明，想办法把待证明的问题归约到已经证明的问题上即可，在这里我们想办法把所有情况转换成为(1)来求解。

(2.1)

第二种情况又根据c是否为好的节点分为两种，若c是a的兄弟节点s的最后一个节点并且是坏节点，观察图，这个情况和之前的pair transformation类似，我们可以将c当作pair transformation中的a节点，这样，这种情况就和pair transformation十分类似了，我们只需按照类似于pair transformation中对a和a’的操作来对c和a’进行类似的操作即可，时间复杂度依然为O(1)

左图中用灰色铅笔圈出的p, s, c部分，把它看作(1)里面左边的g, p, a即可。于是问题转化为(1)。

(2.2)

若c是a的兄弟节点s的最后一个节点并且是好节点，正如图片上部所示的图，我们发现和clean操作类似，因此我们进行类似于clean的操作，将a和c进行互换即可，最后所需复杂度和clean操作相同，为O(1)

这样我们就把问题转化成为了(2.1)

(3)

下面是Singleton transformation的第三种情况，这时，a和a’都是活跃节点且不为最后一个孩子，我们可就c和c’是否是好的节点进行分类，两两组合就会有4种情况。（我们首先来看c和c’都是好的的情况，没错，这时两棵子树的情况和clean的操作都类似，我们可以对两棵树分别进行clean操作；再来看c和c’一好一坏的情况，这种情况我们也是十分的熟悉，就和Singleton transformation的2.1操作类似，如灰色的圈所示，我们可以将其看作2.1中那颗较小的子树，从而执行类似于2.1的操作；对于c和c’都是坏节点的情况，相信大家已经找到了规律，）最后发现这就是2.2的情况的进阶版，

还可以把步子迈小一点，以左边2个图为例，下部用灰色铅笔全出的部分看作是(2)里面的右边就好，这样将问题转化为(2)，具体对应关系呢

(c, c’)	good, good	good, bad	bad, good	bad, bad
transform	a<->c, a’<->c’	2.2	2.2	2.1

Run transformation

（1）

接下来是Run transformation，就a是否为最后一个节点来分情况讨论。在这里，我们先讨论a是最后一个节点的情况，看到有r-1个节点的p和t，自然而然想到将她们两个进行合并，形成有r个节点的树，从t是坏节点也可以看出，p比t大，因此合并时我们以t为父亲，之后，两个均有r个节点的t和a就可以进行合并操作，选取他们中较小的一个为父节点，连接至g下，同样的，是新生成的活跃节点，所以连线为虚线。

（2）

然后是第二种情况，a不是最后一个节点的情况，这时我们将p的所有子节点拆下后，可以看出，c和p都有r-1个子节点，先将他们进行合并，形成有根节点度为r的树，再与d合并，形成有r+1个孩子节点的树。再将t和s节点合并，形成有r个孩子节点的树，然后再与a节点合并，形成有r+1个孩子节点的树，取t和a中较小的为父节点，然后就可以与同为r+1个孩子的节点p进行合并，从而完成操作，使得活跃节点到最后一个。

还可以这么看，对于顶点p来说，t和a是坏孩子，s是好孩子，它们之间的大小关系一目了然，这样先合并t和s，再将合并之后的t与a合并，去较小者为新父亲节点，连在p的后面，至于c和d，可以看作是打酱油的存在。

至此，所有操作都已介绍完成，松弛堆复杂就复杂在针对多种不同的情况进行优化处理，写成伪代码就如图中，最终复杂的算法步骤产生了简单的时间复杂性。
翻译成一个流程图

在堆的进化之旅尽头，我们根据论文复现了这几种数据结构，它们应用在迪杰斯特拉算法中获得的效率就如这四幅图所示，结果恰如之前分析，Relaxed Heap 和 Fibonacci Heap效率最高。

尾声

我们合并的时候，总是对度数相等的树来下手。这一系列所有堆都是这样，这也对应了Fibonacci 数列的经典公式 f(i) = f(i-1) + f(i-2)

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