示例一.

【定积分】∫−∞∞x⋅12π⋅exp⁡(−x22)⋅dx\int_{-\infin}^{\infin}x\cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\Big(\frac{-x^2}2\Big)\cdot dx∫−∞∞x⋅2π1⋅exp(2−x2)⋅dx
【思路】取 f(x)=xf(x)=xf(x)=x，那么剩余部分恰为定义在区间 (−∞,∞)(-\infin,\infin)(−∞,∞) 上的标准正态分布的密度函数：p(x)=12π⋅exp⁡(−x22)p(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\Big(\frac{-x^2}2\Big)p(x)=2π1⋅exp(2−x2)所以我们按照标准正态分布在区间 (−∞,∞)(-\infin,\infin)(−∞,∞) 进行抽样得到 x1,x2,⋯,xnx_1,x_2,\cdots,x_nx1,x2,⋯,xn 后计算函数均值作为上述定积分的估计值即可。
从概率论知识出发，上述定积分等价于计算标准正态分布的均值，我们可以预见 —— 蒙特卡罗积分的数值计算结果会收敛到 000 附近。
Python代码以及绘图结果如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder EditorThis is a temporary script file.
"""
# In[]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef func(x):return x# In[]
n = np.linspace(10,1000,1000).astype(int)res = np.zeros(len(n))# In[]
for i in range(len(n)):x = np.random.randn(1,n[i])x = func(x)res[i] = np.mean(x)# In[]
plt.plot(n,res)

示例二.

【定积分】∫−∞∞x2⋅exp⁡(−x22)⋅dx\int_{-\infin}^{\infin}x^2\cdot\exp\Big(\frac{-x^2}2\Big)\cdot dx∫−∞∞x2⋅exp(2−x2)⋅dx
【思路】改写上述定积分：∫−∞∞2πx2⋅12π⋅exp⁡(−x22)⋅dx\int_{-\infin}^{\infin}\sqrt{2\pi}x^2\cdot\frac1{\sqrt{2\pi}}\cdot\exp\Big(\frac{-x^2}2\Big)\cdot dx∫−∞∞2πx2⋅2π1⋅exp(2−x2)⋅dx因此定义 f(x)=2πx2f(x)=\sqrt{2\pi}x^2f(x)=2πx2 即可，其余过程和示例一完全相同。
Python代码以及绘图结果如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder EditorThis is a temporary script file.
"""
# In[]
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef func(x):const = np.sqrt(2*np.pi)return const*(x**2)# In[]
n = np.linspace(10,1000,1000).astype(int)res = np.zeros(len(n))# In[]
for i in range(len(n)):x = np.random.randn(1,n[i])x = func(x)res[i] = np.mean(x)# In[]
plt.plot(n,res)

个人经验来看，有限区间内以均匀分布作为 p(x)p(x)p(x) 为妙，无限区间可以考虑符合要求的正态分布或指数分布等。

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【Practical】蒙特卡罗无穷区间积分

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示例一.

示例二.

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