菲涅尔定理及MATLAB实现

本文是学习胡章芳《MATLAB仿真及其在光学课程中的应用》和赵凯华《光学》这两本书时所做笔记。

1. 菲尼尔反射与折射公式

一般来说，光射在两种不同介质界面上时，会分解为反射和折射两股，能流在它们之间分配，分配的比例与入射角有关。
如图1所示，两种电介质的折射率分别为n1n{_{1}}n1和n2n{_{2}}n2，取x轴在入射面内，从而y轴与入射面垂直，x、y、z构成右手正交系统。入射角、反射角和折射角分别为i1i{_{1}}i1、i1′i{_{1}}^{'}i1′、i2i{_{2}}i2，根据折反射定律可得出：
i1′=i1i{_{1}}^{'}=i{_{1}}i1′=i1， n1sin1=n2sin2n{_{1}}sin{_{1}}=n{_{2}}sin{_{2}}n1sin1=n2sin2
k1^\hat{k{_{1}}}k1^、k1^′\hat{k{_{1}}}^{'}k1^′、k2^\hat{k{_{2}}}k2^为入射光、反射光和折射光传播方向的单位矢量。s1^\hat{s{_{1}}}s1^、s1^′\hat{s{_{1}}}^{'}s1^′、s2^\hat{s{_{2}}}s2^为入射面垂直的方向s分量（垂直纸面向外）。p1^\hat{p{_{1}}}p1^、p1^′\hat{p{_{1}}}^{'}p1^′、p2^\hat{p{_{2}}}p2^为入射面平行的方向p分量。的正方向可由下式定义：
p1^×s1^=k1^\hat{p{_{1}}}×\hat{s{_{1}}}=\hat{k{_{1}}}p1^×s1^=k1^，p1^′×s1^′=k1^′\hat{p{_{1}}}^{'}×\hat{s{_{1}}}^{'}=\hat{k{_{1}}}^{'}p1^′×s1^′=k1^′，p2^×s2^=k2^\hat{p{_{2}}}×\hat{s{_{2}}}=\hat{k{_{2}}}p2^×s2^=k2^
对于每束光来说，按照p^\hat{p}p^、s^\hat{s}s^、k^\hat{k}k^的顺序组成右手正交系统。再根据这三个局部直角坐标系，则三根光束的的电矢量E1^\hat{E{_{1}}}E1^、E1^′\hat{E{_{1}}}^{'}E1^′、E2^\hat{E{_{2}}}E2^就可分解为p分量和s分量，它们的正负都是相对于各自的基始方向而言的。

图1. 入射光，反射光和折射光内ppp、sss、k^\hat{k}k^正交系数的选取

按照以上条件，可由电磁场的边值条件可以导出，在界面两侧邻近点的入射场、反射场合折射各分量满足以下关系，即菲涅尔反射折射公式：

E~1p′=n2cosi1−n1cosi2n2cosi1+n1cosi2E~1p=tan(i1−i2)tan(i1+i2)E~1p{\tilde{{E}}}_{1p}^{'}=\frac{n_{2}cosi_{1}-n_{1}cosi_{2}}{n_{2}cosi_{1}+n_{1}cosi_{2}}{\tilde{{E}}}_{1p}=\frac{tan(i_{1}-i_{2})}{tan(i_{1}+i_{2})}{\tilde{{E}}}_{1p}E~1p′=n2cosi1+n1cosi2n2cosi1−n1cosi2E~1p=tan(i1+i2)tan(i1−i2)E~1p

E2p~=2n1cosi1n2cosi1+n1cosi2E1p~\tilde{E_{2p}}=\frac{2n_{1}cosi_{1}}{n_{2}cosi_{1}+n_{1}cosi_{2}}\tilde{E_{1p}}E2p~=n2cosi1+n1cosi22n1cosi1E1p~

E~1s′=n1cosi1−n2cosi2n1cosi1+n2cosi2E~1s=sin(i2−i1)sin(i2+i1)E~1s{\tilde{{E}}}_{1s}^{'}=\frac{n_{1}cosi_{1}-n_{2}cosi_{2}}{n_{1}cosi_{1}+n_{2}cosi_{2}}{\tilde{{E}}}_{1s}=\frac{sin(i_{2}-i_{1})}{sin(i_{2}+i_{1})}{\tilde{{E}}}_{1s}E~1s′=n1cosi1+n2cosi2n1cosi1−n2cosi2E~1s=sin(i2+i1)sin(i2−i1)E~1s

E~2s′=2n1cosi1n1cosi1+n2cosi2E~1s=2cosi1sini2sin(i2+i1)E~1s{\tilde{{E}}}_{2s}^{'}=\frac{2n_{1}cosi_{1}}{n_{1}cosi_{1}+n_{2}cosi_{2}}{\tilde{{E}}}_{1s}=\frac{2cosi_{1}sini_{2}}{sin(i_{2}+i_{1})}{\tilde{{E}}}_{1s}E~2s′=n1cosi1+n2cosi22n1cosi1E~1s=sin(i2+i1)2cosi1sini2E~1s
菲涅尔公式表明，反射、折射光里的p分量只与入射光里的p分量有关，s分量只与s分量有关。这表明在反射、折射的过程中p、s两个分量的振动是相互独立的。

2. 反射率和透射率

为了说明反射和折射各占多少比例，引入反射率与透射率概念。当p和s这两个分量的反射率和透射率被确定，则任意方向上的振动的光的反射、折射特性也即确定。

	p分量	s分量
振幅反射率	r~p=E′~1p/E~1p{\tilde{r}_{p}=\tilde{{E}'}_{1p}/\tilde{{E}}_{1p}}r~p=E′~1p/E~1p	r~s=E′~1s/E~1s{\tilde{r}_{s}=\tilde{{E}'}_{1s}/\tilde{{E}}_{1s}}r~s=E′~1s/E~1s
振幅透射率	t~p=E~2p/E~1p{\tilde{t}_{p}=\tilde{{E}}_{2p}/\tilde{{E}}_{1p}}t~p=E~2p/E~1p	t~s=E~2s/E~1s{\tilde{t}_{s}=\tilde{{E}}_{2s}/\tilde{{E}}_{1s}}t~s=E~2s/E~1s

将菲涅尔反射折射公式代入振幅反射率和透射率公式，即可得到r~p{\tilde{r}_{p}}r~p、r~s{\tilde{r}_{s}}r~s、t~p{\tilde{t}_{p}}t~p、t~s{\tilde{t}_{s}}t~s、的具体表达式：

{rp~=n2cosi1−n1cosi2n2cosi1+n1cosi2=tan(i1−i2)tan(i1+i2)rs~=n1cosi1−n2cosi2n2cosi1+n2cosi2=sin(i2−i1)sin(i2+i1)\left\{\begin{matrix} \tilde{r_{p}}=\frac{n_{2}cosi_{1}-n_{1}cosi_{2}}{n_{2}cosi_{1}+n_{1}cosi_{2}}=\frac{tan(i_{1}-i_{2})}{tan(i_{1}+i_{2})}\\ \tilde{r_{s}}=\frac{n_{1}cosi_{1}-n_{2}cosi_{2}}{n_{2}cosi_{1}+n_{2}cosi_{2}}=\frac{sin(i_{2}-i_{1})}{sin(i_{2}+i_{1})} \end{matrix}\right.{rp~=n2cosi1+n1cosi2n2cosi1−n1cosi2=tan(i1+i2)tan(i1−i2)rs~=n2cosi1+n2cosi2n1cosi1−n2cosi2=sin(i2+i1)sin(i2−i1)
{tp~=2n1cosi1n2cosi1+n1cosi2ts~=2n1cosi1n1cosi1+n2cosi2\left\{\begin{matrix} \tilde{t_{p}}=\frac{2n_{1}cosi_{1}}{n_{2}cosi_{1}+n_{1}cosi_{2}}\\ \tilde{t_{s}}=\frac{2n_{1}cosi_{1}}{n_{1}cosi_{1}+n_{2}cosi_{2}} \end{matrix}\right.{tp~=n2cosi1+n1cosi22n1cosi1ts~=n1cosi1+n2cosi22n1cosi1

上式中各个光波分量应是瞬时值，也可被看成是复振幅，因为它们的时间和频率是相同的。

3. MATLAB实现

已知界面两侧的折射率n1、n2和入射角θ1，绘出在n1<n2(光由光疏介质射向光密介质)和n1>n2(光由光密介质射向光疏介质)两种情况下，反射系数、透射系数随入射角θi的变化曲线。

clear;             %清空内存空间
disp('请输入介质折射率n1和n2')
n1=input('n1='); %接受键盘任意输入合适的折射率n1
n2=input('n2='); %接受键盘任意输入合适的折射率n2
theta = 0:0.1:90;   %入射角范围0-90°，步距0.1°
a=theta*pi/180;   %角度化为弧度
rp =(n2*cos(a)-n1*sqrt(1-(n1/n2*sin(a)).^2))./...(n2*cos(a)+n1*sqrt(1-(n1/n2*sin(a)).^2));   %p分量振幅反射率
rs = (n1*cos(a)-n2*sqrt(1-(n1/n2*sin(a)).^2))./...(n1*cos(a)+n2*sqrt(1-(n1/n2*sin(a)).^2));   %s分量振幅反射率
tp = 2*n1*cos(a)./(n2*cos(a)+n1*sqrt(1-(n1/n2*sin(a)).^2));%p分量振幅透射率
ts = 2*n1*cos(a)./(n1*cos(a)+n2*sqrt(1-(n1/n2*sin(a)).^2));%s分量振幅透射率figure(1);       %图形窗口
subplot(1,2,1);  %作图rp、rs、|rp|、|rs|随入射角的变化曲线
plot(theta,rp,'-',theta,rs,'--',theta,abs(rp),':',...theta,abs(rs),'-.','LineWidth',2);
legend('rp','rs','|rp|','|rs|');
xlabel('入射角\theta_i');
ylabel('振幅');
title(['n_1=',num2str(n1),',n_2=',num2str(n2),'时反射系数随入射角的变化曲线']);
axis([0 90 -1 1]);    %设定作图区间
grid on;              %作图加栅格
subplot(1,2,2);  %作图tp、ts、|tp|、|ts|随入射角的变化曲线
plot(theta,tp,'-',theta,ts,'--',theta,abs(tp),':',...theta,abs(ts),'-.','LineWidth',2);
legend('tp','ts','|tp|','|ts|');
xlabel('入射角\theta_i');
ylabel('振幅');
title(['n_1=',num2str(n1),',n_2=',num2str(n2),'时透射系数随入射角的变化曲线']);
if n1<n2
axis([0 90 0 1]);      %设定作图区间
else
axis([0 90 0 3.5]);    %设定作图区间
end
grid on;               %作图加栅格

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