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作者：Chris Budd

翻译：Dannis

审校：Nuor

我们大多数人都听说过这个叫做黄金比例的数。比如说，它出现在《达芬奇密码》这本书和改编的电影中，还出现在了许多文章、书籍，以及研究项目中，旨在向我们展示数学对现实世界的重要价值。许多作者（包括《达芬奇密码》一书的作者）都将其视作自然界所有美丽图样的基石，有时它还被称作“神圣比例”。

有人说很多很多艺术品或者建筑都蕴含了黄金分割比在其中，譬如，据称帕特农神庙和金字塔都是按照这个比例建造的。也有人说，人体上也有黄金比例的出现，比如说一个成年人的身高和他肚脐的高度的比值，再或者他手臂的长度与手掌长度的比值。

然而，在我研究数学在实际生活中的应用的整个学术生涯中，确切的讲我只遇到了两次这个“黄金比例”。是的，就两次！所以，这些宣称与“黄金比例”有关的事情是真的吗？

到底什么是黄金分割比？

首先我们来回忆一下到底什么是所谓的黄金比例。它是由古希腊数学家欧几里得提出的如下的概念。设想你画了一条线段，还想把它分成两部分。你想把它照这个样子分割：整条线段的长度和较长一段的长度的比值，要等于较长一段长度于较短一段长度的比值。那么这个比值会是多少呢？

我们希望分割出A，B使得（A+B）/A=A/B

运用一点点数学就能得到这个比值：

Φ是由两段长度的比值决定的，这意味着无论何时，无论你在观察什么东西——一张脸也好，一幢房子也好——你都会找到这样一个比例关系。

人体中的黄金分割比

黄金比例应该算得上是人体中众多比例的核心了，比如说一个完美的脸型，或者肚脐的高度与身高的比值。确实，据说完美的脸型上的每一部分的比例都跟黄金比例有关。

你可以把各种各样的长方形叠加在一张漂亮的脸蛋上，然后宣称从这些长方形的比值中可以“推导”出美丽来

然而这些都不是真的，而且差的不是一星半点。人体上有许多可能的比值，许多都是在 1~2 之间。要是你考虑足够多的这些值，你应该能得到一堆接近黄金比例（在1.618附近）的数。当你测量的这些东西不是完全严格定义的时候尤其如此，因为你有可能去改变定义以期获得你“想要”的比例。

要是你观察得足够仔细，你还会发现人体上有接近 1.6，5/3，3/2，根号2，42/46等等这样的比值。确实，大多数这种介于1和2之间的数都可以用人体上的两部分的比值来近似得到。类似的这种虚假相关模式也可以在太阳系中找到（当然，这其中有许许多多不一样的比例供你选择）。还有一点要知道的是，所谓黄金比例是一个无理数（如下文所示），也就是说你不可能在任何测量中确切观察到它。

所有这些都是人类大脑寻找虚假相关的实例。实际上，给定了足够多的数据之后，人们可以为任何一种假设找到相符的模式形式。一个好的证明这种说法的方法就是在一个大晴天出门去看看云彩——早晚你总能找到一朵长着全新模样的云彩，举个例子，比如说像BBC报道过的这个像布狄卡女王一样的云彩。

一旦虚假相关被用于通过数据证明某个观点时，这种现象是十分危险的。比方说，（虚假相关）可能会导致错误的指控，甚至会导致错误的定罪。

螺线、黄金比例及其他东西

如果你取一条线段，分成A、B两端并保证A/B满足黄金比例，然后得到一个长宽分别为A+B和A的矩形。这样一个矩形就叫做黄金矩形。

黄金矩形由一块正方形（白色）和一个小号的长方形（灰色）组成。小号的长方形也是一个黄金矩形

我们刚刚得到的这个黄金矩形由一块正方形和一块小一点的长方形（它自身也是一个黄金矩形）组成。这个黄金矩形同样由一块正方形和一块再小一点的长方形（自身还是一个黄金矩形）组成。以此类推。

简单地把这些黄金矩形的正方形中画1/4圆并相连，通过这样一个越来越小的黄金矩形的队列我们可以形成一个看起来像螺线的东西。

由黄金矩形构造出的螺线形状

据说这个类似螺线的形状经常出现在自然界和艺术领域的许多地方。比如鹦鹉螺壳的形状，星系的形状，飓风的形状甚至是波的形状。

这里就有两个问题了。首先这个形状并不是螺线。它是由一列圆弧曲线组成的，当你从一个弧线来到另一个弧线的时候，螺线的曲率是跳变的。在任何一种自然现象中我们都几乎看不到这种跳变。实际上，这个形状只是真实螺线的一种近似。它近似的这种螺线形式是一种对数螺线。这种螺线在自然界中很常见，它们遵循极坐标方程：

这里e是自然对数的底。自然界中我们到处都可以看到这种螺线，会根据具体环境取不同的a和b的值。这种曲线如此普遍是因为它们有这种自相似的特性。这意味着如果你把一条螺线以任何固定角度旋转，你得到的会是一条按原始螺线缩放的螺线。

所谓的这种黄金螺线有一个特定的b值，

其中Φ是黄金比例（角度以弧度测量）。

这个数值为何特殊是没有任何理由的。鹦鹉螺壳是一条对数螺线是因为自相似的特性允许螺壳能在生长的同时不改变形状。观测到的鹦鹉螺壳的对应的b值和上面的黄金螺纹没有一点关系，事实上的螺壳的b值最常见是取0.18。

艺术与建筑

这里我们要小心一点。对于一些艺术家，像勒.柯布西耶，就故意在他们的作品中运用黄金比例。这是因为据说黄金矩形的比例在人眼睛是极其舒适的，并且从审美的角度来讲，相较于其他矩形我们更青睐黄金矩形，从而可以将其应用于艺术作品中。接着就有说法称在任何一个艺术或者建筑作品中都能看到黄金比例。

证明黄金矩形使人感到舒适的证据其实是相当薄弱的。心理学研究表明，不同的矩形对于不同人群似乎呈现出一个很宽泛的喜好范围，其中根号2比1的比例经常比其他情况更受青睐。测试一下你自己，看看以下矩形中你更喜欢哪一个。

根据基斯·德夫林的书《德夫林之角度：不会消失的神话》（Devlin's angle: The myth that won't go away）中所述，黄金比例与审美学挂钩的说法主要来自于两个人，其中一个为误引，另一个为杜撰。被误引的作者是卢卡·帕乔利，他在1509年写过一本叫做《神圣比例》的书。这本书以黄金比例命名，但是并不是在探讨基于黄金比例的审美学理论或者说什么将黄金比例应用于艺术和建筑的。这个观点是在1799年被张冠李戴给帕乔利的。

帕乔利是列奥纳多·达·芬奇的密友，于是经常有说法说列奥纳多自己也在自己的绘画中应用黄金比例。这一点并没有直接证据证明。其中最著名的例子可能就是“维特鲁威人”了，这幅画中的比例并不符合黄金比例，而列奥纳多确实仅仅提及了他作品中的整体的数字比值。设想在他作品中出现的这些黄金比例和在自然界中寻找这个比例是同一回事。

德夫林将黄金比例的普及归因于19世纪的德国心理学家阿道夫·蔡辛。蔡辛声称黄金比例是可以描述“自然界与艺术领域的美和完善度”的普适性的规律，“…它作为一种重要的精神意义上的理想产物，渗透到了所有结构、形式和比例当中，无论是宇宙还是个体的、有机还是无机的、声学还是光学的”。（以上）这是一个显而易见的伪造的产物。然而蔡辛的工作之后影响了许多人，并且很大程度上导致了这个现代神话的形成。

这个神话的另一个例子，是据说雅典卫城的一部分，即帕特农神庙的比例中也出现了黄金比例。

所谓的在帕特农神庙上叠加出来的黄金螺线。然而并没有证据表明在这个建筑的设计中运用了黄金比例。背景所用的帕特农神庙的图片来源：Oyvind Solstad, CC BY 2.0

希腊学者中没有证据证明这一点，而且帕特农神庙中运用了黄金比例的说法只能追溯到19世纪50年代。进一步讲，对于帕特农神庙的实际测量并没有给出尤其接近于黄金比例的数值——除非你很仔细地去特意挑选用于测量的矩形。

实际上，帕特农神庙看起来十分和谐，是来自于线条的聪明选取——它们看似平行实则会汇聚或者会弯曲，所以事实上不可能去进行足够精确的测量，以获得确切的比例。因为帕特农神庙中的比例会随着高度变化，所以不太可能找到一个满足黄金比例的整体的划分形式。

同样的情况适用于其他希腊建筑：没有证据显示希腊人在他们的艺术或者建筑当中考虑或者使用过黄金比例以期得到审美上的愉悦。

这一点也适用于音乐。据说黄金比例在音乐创作当中十分重要——实际上并没有证据证明这一点。然而在音乐创作当中，重要的是音阶，音阶是非常接近于这个数——这个数才是音乐的核心，而非黄金比例。

这些关于黄金比例的经久不衰的传言是有着很现实的危险的。学童们和其他许多人被灌输了一种关于数学起作用的错误方式。而早晚他们会发现这是不正确的，从而对数学解释世界的真实能力丧失信念。

伟大的现实

虽然上面一直对黄金比例持否定的态度，但是在这一节我想强调一下黄金比例究竟是怎样令人惊奇的一个数——无需这些虚假的说法来使它变得特别。

首先，让我们来看看一个和黄金比例真实有关的自然现象。黄金比例与著名的斐波那契数列密切相关：

斐波那契数列确实会出现在自然界当中，因为它与人口增长的方式以及图形彼此契合的方式有关。举个例子，这个数列出现在向日葵上葵花子的漩涡中，使得它们能以一种有序的形式彼此契合；它还出现在一些植物的叶子排布当中，这样的排列使得植物能够获得最多的光照。这样一来就有可能观察到在某些自然现象中出现的接近黄金比例的比值。

这些现象包括蜂巢中雄峰对于雌蜂的分配问题，这涉及到了蜜蜂的多代繁殖问题。

斐波那契在思考理想情况下兔子数目的增长问题时想到了这个数列。

但是也许更有趣的是黄金比例的迷人的数学特性。但是我想提一点尤其迷人的、并且是使黄金比例有别于其他数的特性：它的极端的无理性。

无理数是那些不能被写作分数形式，并且在十进制下写作无限不循环形式的数。这个事实意味着很难在自然界观察到无理数。黄金比例有个最奇妙的特性：它是这些无理数中最具无理性的数。这意味着，你不仅无法把它用一个分数表示，甚至都不可能轻易地用一个分数来近似表示它。

由于很难用分数近似表示黄金比例，对于那些研究同步进程的数学家和科学家来说，黄金比例很有用处。这种情况出现在当一个拥有固有频率的系统被拥有不同频率的东西受迫运动，并且同步于受迫频率。一个例子便是人体对于每天的日照频率的同步性。第二个例子就是地球的气候同步于它绕太阳的轨道的自然周期。

然而，同步性自身也会成为一个问题，会带来系统中的不需要的共振（比如行进中的队伍走过悬索桥时会带来桥体的剧烈振动）。通过选取两个比例为1：Φ的频率，我们可以避免同步性——得益于黄金比例的极端无理性。这个极为有用的特性被应用于脑科学研究、昆虫种类研究，还被大气科学家以及航空制造业的人们应用。

所以黄金比例确实是扮演了关键角色，但是不是以你经常在神话演义之类的东西中读到的那样。这一点是多么的遗憾啊！这形成了一个可爱的悖论：关于黄金比例的最有趣的东西恰恰在于它不是用来做比例的。

原文链接：

https://plus.maths.org/content/myths-maths-golden-ratio

编辑：aki

我们是谁：MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
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