滤波器的原理分析

滤波器由电容、电感和电阻组成，可以使信号中特定的频率成分通过，同时极大地衰减其他频率成分。幅频特性曲线和相频特性曲线常用来描述滤波器对不同频率成分的信号的衰弱程度，接下来本文将从电路结构出发分析不同滤波电路的频响特性。

复数的模和角度

在分析滤波电路之前，首先我们回顾下复数的模和辐角，因为滤波器的频率响应函数就是自变量为复数的函数，而幅频特性就是模，相频特性就是辐角。
高中时期我们就学过复数，即形如 a+bja+bja+bj的数。同时我们还知道复数还能表示为指数形式，即r∗ejθr*e^{j\theta}r∗ejθ，其中，r=a2+b2，θ=arctan(ba)r=\sqrt{a^2+b^2}，\theta=arctan(\frac{b}{a})r=a2+b2，θ=arctan(ab),r叫做复数a+bja+bja+bj的模，θ\thetaθ叫做复数的辐角。
那么有一个简单的问题，复数1a+bj\frac{1}{a+bj}a+bj1的模和辐角为多少？之所以问这个问题，是因为本文所谈的滤波器的频率响应函数在求幅频特性和相频特性时经常要用到这个小知识点。简单的计算一下，如下
模为r=（aa2+b2）2+（ba2+b2）2=1a2+b2r=\sqrt{（\frac{a}{a^2+b^2}）^2+{（\frac{b}{a^2+b^2}}）^2}= \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}r=（a2+b2a）2+（a2+b2b）2=a2+b21
辐角为θ=arctan(ba2+b2−aa2+b2)=−arctan(ba)\theta=arctan(\frac{\frac{b}{a^2+b^2}}{-\frac{a}{a^2+b^2}})=-arctan(\frac{b}{a})θ=arctan(−a2+b2aa2+b2b)=−arctan(ab)
好了，下面针对五类滤波电路进行简要分析。

1 低通滤波器（LPF）

上图是低通滤波器的电路图。其实我们可以将电容看作普通的电阻(阻值为1jwC\frac{1}{jwC}jwC1)，那么这就是两个电阻串联在一起，输出电压就是电容的分压了，与输入电压的比就是频率响应函数
H(jw)=XCXC+R=1jwC1jwC+R=11+jwRCH(jw)=\frac{X_C}{X_C+R}=\frac{\frac{1}{jwC}}{\frac{1}{jwC}+R}=\frac{1}{1+jwRC}H(jw)=XC+RXC=jwC1+RjwC1=1+jwRC1
其中，XCX_CXC是电容的阻值，RRR是电阻的阻值。
那么，根据开头说的1a+bj\frac{1}{a+bj}a+bj1的模和辐角，很容易知道
幅频特性为
∣H(jw)∣=11+（wRC）2\left| H(jw) \right|=\frac{1}{\sqrt{1+（wRC）^2} }∣H(jw)∣=1+（wRC）21
相频特性为
θ(w)=−arctan(wRC)\theta(w)=-arctan(wRC) θ(w)=−arctan(wRC)
Matlab画图如下

可以看到，幅频特性大体是满足通低阻高的，但与理想的滤波器特性曲线有一定的差距，是无可避免的。

2 高通滤波器（HPF）

高通的输出电压求法同上，频率响应函数为
H(jw)=RXC+R=R1jwC+R=11+1jwRC=11−j1wRCH(jw)=\frac{R}{X_C+R}=\frac{R}{\frac{1}{jwC}+R}=\frac{1}{1+\frac{1}{jwRC}}=\frac{1}{1-j\frac{1}{wRC}}H(jw)=XC+RR=jwC1+RR=1+jwRC11=1−jwRC11
幅频特性为
∣H(jw)∣=11+1（wRC）2\left| H(jw) \right|=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{（wRC）^2}} }∣H(jw)∣=1+（wRC）211
相频特性为
θ(w)=−arctan(−1wRC)=arctan(1wRC)\theta(w)=-arctan(-\frac{1}{wRC}) =arctan(\frac{1}{wRC})θ(w)=−arctan(−wRC1)=arctan(wRC1)

3 带通滤波器（BPF）

依然是简单的电阻串并联，频率响应函数为
H(jw)=R∗1jwCR+1jwC1jwC+R+R∗1jwCR+1jwC=R1+jwRCR+1jwC+R1+jwRC=13+j(wRC−1wRC)H(jw)=\frac{\frac{R*\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}}}{\frac{1}{jwC}+R+\frac{R*\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}}}=\frac{\frac{R}{1+jwRC}}{R+\frac{1}{jwC}+\frac{R}{1+jwRC}}=\frac{1}{3+j(wRC-\frac{1}{wRC})}H(jw)=jwC1+R+R+jwC1R∗jwC1R+jwC1R∗jwC1=R+jwC1+1+jwRCR1+jwRCR=3+j(wRC−wRC1)1
幅频特性为
∣H(jw)∣=19+（wRC−1wRC）2\left| H(jw) \right|=\frac{1}{\sqrt{9+（wRC-\frac{1}{wRC}）^2} }∣H(jw)∣=9+（wRC−wRC1）21
相频特性为
θ(w)=−arctan(wRC−1wRC3)\theta(w)=-arctan(\frac{wRC-\frac{1}{wRC}}{3}) θ(w)=−arctan(3wRC−wRC1)

4 带阻滤波器（BSF）

这个电路图要稍微复杂些，需要将星形网络转换为三角形网络，最终的等效电路图如下

频率响应函数为
H(jw)=11−j4(wRC−1wRC)H(jw)=\frac{1}{1-j\frac{4}{(wRC-\frac{1}{wRC})}}H(jw)=1−j(wRC−wRC1)41
幅频特性为
∣H(jw)∣=11+（4(wRC−1wRC)）2\left| H(jw) \right|=\frac{1}{\sqrt{1+（\frac{4}{(wRC-\frac{1}{wRC})}）^2} }∣H(jw)∣=1+（(wRC−wRC1)4）21
相频特性为
θ(w)=−arctan(−4(wRC−1wRC))=arctan(4(wRC−1wRC))\theta(w)=-arctan(-\frac{4}{(wRC-\frac{1}{wRC})}) =arctan(\frac{4}{(wRC-\frac{1}{wRC})}) θ(w)=−arctan(−(wRC−wRC1)4)=arctan((wRC−wRC1)4)

5 全通滤波器（APF）

频率响应函数为
H(jw)=1−jwRC1+jwRC=(1−jwRC)2(1+jwRC)(1−jwRC)=(1−jwRC)21+(wRC)2=1−(wRC)2−2jwRC1+(wRC)2=1−(wRC)21+(wRC)2−2jwRC1+(wRC)2H(jw)=\frac{1-jwRC}{1+jwRC}=\frac{(1-jwRC)^2}{(1+jwRC)(1-jwRC)}=\frac{(1-jwRC)^2}{1+(wRC)^2}=\frac{1-(wRC)^2-2jwRC}{1+(wRC)^2}=\frac{1-(wRC)^2}{1+(wRC)^2}-\frac{2jwRC}{1+(wRC)^2}H(jw)=1+jwRC1−jwRC=(1+jwRC)(1−jwRC)(1−jwRC)2=1+(wRC)2(1−jwRC)2=1+(wRC)21−(wRC)2−2jwRC=1+(wRC)21−(wRC)2−1+(wRC)22jwRC
幅频特性为
∣H(jw)∣=(1−(wRC)21+(wRC)2)2+(2jwRC1+(wRC)2)2=(1−(wRC)2)2−4(wRC)2(1+(wRC)2)2=1\left| H(jw) \right|= \sqrt{(\frac{1-(wRC)^2}{1+(wRC)^2})^2+(\frac{2jwRC}{1+(wRC)^2})^2}=\sqrt{\frac{(1-(wRC)^2)^2-4(wRC)^2}{(1+(wRC)^2)^2}}=1∣H(jw)∣=(1+(wRC)21−(wRC)2)2+(1+(wRC)22jwRC)2=(1+(wRC)2)2(1−(wRC)2)2−4(wRC)2=1
相频特性为
θ(w)=−arctan(wRC)\theta(w)=-arctan(wRC) θ(w)=−arctan(wRC)

特别说明，全通滤波器的名字带了“全通”两个字，听起来任何频率的波都能通过，那怎么还能被称作滤波器。实际上，全通滤波器只是幅频上没有变化，相频上不同频率对应的时延是不同的。

总结

分析滤波电路的频率响应函数时，可以将电容电感元件当作普通的电阻来看（无非是电容的阻值为1jwC\frac{1}{jwC}jwC1,电感的阻值为−jwL-jwL−jwL ），这样一来整个电路就变成了我们熟悉的纯电阻电路，然后用基本的欧姆定位分析即可。

附录.容抗公式的推导

电感的定义式为：
C=QUC=\frac{Q}{U}C=UQ
所以有
Q=CUQ=CUQ=CU
而电流为
I=ΔQΔtI=\frac{\Delta Q}{\Delta t}I=ΔtΔQ
所以
UI=UΔQΔt=UΔ(CU)Δt\frac{U}{I}=\frac{U}{\frac{\Delta Q}{\Delta t}}=\frac{U}{\frac{\Delta (CU)}{\Delta t}} IU=ΔtΔQU=ΔtΔ(CU)U
假设电压U=Asin(wt+φ)U=Asin(wt+\varphi)U=Asin(wt+φ)，则
UI=Asin(wt+φ)C(wAcos(wt+φ))=1jwC\frac{U}{I}=\frac{Asin(wt+\varphi)}{C(wAcos(wt+\varphi))}=\frac{1}{jwC}IU=C(wAcos(wt+φ))Asin(wt+φ)=jwC1
这就是电容的容抗公式：XC=1jwCX_C=\frac{1}{jwC}XC=jwC1

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