马尔可夫链:随机过程的数学建模及MATLAB实现
2023年9月数学建模国赛期间提供ABCDE题思路加Matlab代码,专栏链接(赛前一个月恢复源码199,欢迎大家订阅):http://t.csdn.cn/Um9Zd
目录
1. 马尔可夫链简介
1.1. 马尔可夫性质
1.2. 马尔可夫链定义
2. 马尔可夫链的性质与分类
2.1. 转移概率矩阵
2.2. 马尔可夫链的分类
3. 马尔可夫链的MATLAB实现
3.1. 定义转移概率矩阵
3.2. 模拟马尔可夫链的状态转移过程
3.3. 计算马尔可夫链的平稳分布
4. 数学建模案例:天气预测
5. 结论
马尔可夫链(Markov Chain)是随机过程的一种重要数学模型,它描述了一个系统在离散时间下的状态转移过程。在马尔可夫链中,下一个状态仅依赖于当前状态,与过去的状态无关。由于这种“无记忆性”,马尔可夫链在许多领域,如经济学、生物学、计算机科学和物理学等,都有广泛的应用。本文将介绍马尔可夫链的原理、MATLAB实现和数学建模案例。
1. 马尔可夫链简介
1.1. 马尔可夫性质
马尔可夫链起源于俄罗斯数学家安德雷·马尔可夫(Andrey Markov)在20世纪初的工作。他研究了一种特殊的随机过程,即下一个状态仅依赖于当前状态的过程。这种性质被称为马尔可夫性质(Markov Property),数学表达如下:
$$
P(X_{t+1} = x_{t+1} | X_t = x_t, X_{t-1} = x_{t-1}, \cdots , X_0 = x_0) = P(X_{t+1} = x_{t+1} | X_t = x_t)
$$
其中,$X_t$ 表示随机过程在时刻 $t$ 的状态,$x_t$ 是一个可能的状态值。
1.2. 马尔可夫链定义
马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机过程。更具体地说,马尔可夫链是一个随机过程,其状态空间是离散的,并且在给定当前状态的情况下,未来状态的概率分布仅取决于当前状态。马尔可夫链可以表示为一个有向图(Directed Graph),其中节点表示状态,边表示状态之间的转移概率。
马尔可夫链可以是有限的(有限个状态)或无限的(无限个状态)。在本文中,我们主要关注有限马尔可夫链。
2. 马尔可夫链的性质与分类
2.1. 转移概率矩阵
马尔可夫链的一个关键概念是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix),它表示了状态之间的转移概率。对于有限状态的马尔可夫链,转移概率矩阵 $P = (p_{ij})$ 是一个 $n \times n$ 矩阵,其中 $n$ 是状态的个数,$p_{ij}$ 是从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率:
$$
p_{ij} = P(X_{t+1} = j | X_t = i)
$$
转移概率矩阵具有以下性质:
- 非负性:$p_{ij} \ge 0$,因为概率值必须是非负的。
- 归一性:$\sum_{j=1}^n p_{ij} = 1$,因为从状态 $i$ 转移到所有其他状态的概率之和必须等于 1。
2.2. 马尔可夫链的分类
根据马尔可夫链的性质,可以将其分类为以下几类:
可达性(Reachability):如果从状态 $i$ 可以通过有限步到达状态 $j$,则称状态 $j$ 是从状态 $i$ 可达的。可达性具有传递性(Transitivity):如果状态 $j$ 是从状态 $i$ 可达的,且状态 $k$ 是从状态 $j$ 可达的,则状态 $k$ 是从状态 $i$ 可达的。
互通性(Communicating):如果状态 $i$ 和状态 $j$ 是可达的,即从状态 $i$ 可以到达状态 $j$,同时从状态 $j$ 也可以到达状态 $i$,则称状态 $i$ 和状态 $j$ 是互通的。用符号表示为 $i \leftrightarrow j$。
分类(Classification):马尔可夫链的状态可以分为不同的类(Class)。在一个类中,所有状态都是互通的。根据类的个数,马尔可夫链可以分为:
- 不可约(Irreducible):如果马尔可夫链只有一个类,即所有状态都是互通的,那么该马尔可夫链是不可约的。
- 可约(Reducible):如果马尔可夫链有多个类,即存在不互通的状态,那么该马尔可夫链是可约的。
周期性(Periodicity):对于状态 $i$,如果从状态 $i$ 出发经过 $k$ 步又回到状态 $i$ 的概率大于零,则称 $k$ 是状态 $i$ 的周期。状态 $i$ 的所有周期的最大公约数称为状态 $i$ 的周期(Period)。周期为 1 的状态称为非周期性(Aperiodic)状态,否则称为周期性(Periodic)状态。根据周期性,马尔可夫链可以分为:
- 无周期(Aperiodic):如果马尔可夫链的所有状态都是非周期性的,那么该马尔可夫链是无周期的。
- 有周期(Periodic):如果马尔可夫链中存在周期性状态,那么该马尔可夫链是有周期的。
转移概率的长期行为(Long-run Behavior of Transition Probabilities):对于马尔可夫链,我们关心的一个问题是当时间趋于无穷时,转移概率的行为。如果存在一个概率分布 $\pi = (\pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_n)$,使得
$$
\lim_{t \to \infty} p_{ij}^{(t)} = \pi_j, \quad \forall i, j
$$其中 $p_{ij}^{(t)}$ 表示经过 $t$ 步从状态 $i$ 转移到状态 $j$ 的概率,那么称马尔可夫链具有平稳分布(Stationary Distribution)。
3. 马尔可夫链的MATLAB实现
在MATLAB中实现马尔可夫链,主要涉及以下几个步骤:
- 定义转移概率矩阵;
- 模拟马尔可夫链的状态转移过程;
- 计算马尔可夫链的平稳分布。
3.1. 定义转移概率矩阵
在MATLAB中,我们可以使用矩阵表示马尔可夫链的转移概率矩阵。例如,对于一个具有 3 个状态的马尔可夫链,其转移概率矩阵可以定义如下:
P = [0.9 0.1 0;0.5 0.4 0.1;0 0.2 0.8];
注意:要确保转移概率矩阵满足非负性和归一性条件。
3.2. 模拟马尔可夫链的状态转移过程
在定义了转移概率矩阵后,我们可以模拟马尔可夫链的状态转移过程。以下是一个简单的MATLAB函数,用于模拟马尔可夫链的状态转移:
function nextState = simulateMarkovChain(currentState, P)% 输入:% currentState - 当前状态% P - 转移概率矩阵%% 输出:% nextState - 下一个状态nStates = size(P, 1); % 状态的个数cumulativeProbs = cumsum(P(currentState, :)); % 累积概率randomValue = rand(); % 生成一个随机数nextState = find(randomValue <= cumulativeProbs, 1, 'first'); % 根据随机数选择下一个状态
end
使用这个函数,我们可以模拟马尔可夫链在给定初始状态和转移概率矩阵的情况下的状态转移过程。例如,对于上述定义的转移概率矩阵 P
和初始状态 1
,我们可以模拟 100 个时间步的状态转移:
initialState = 1;
nTimeSteps = 100;stateSequence = zeros(1, nTimeSteps);
stateSequence(1) = initialState;for t = 2:nTimeStepsstateSequence(t) = simulateMarkovChain(stateSequence(t-1), P);
end
3.3. 计算马尔可夫链的平稳分布
对于不可约且无周期的马尔可夫链,我们可以利用平稳分布的性质计算其平稳分布。平稳分布满足以下条件:
$$
\pi P = \pi
$$
其中,$\pi$ 是平稳分布向量,$P$ 是转移概率矩阵。要计算平稳分布,我们可以将上述方程改写为以下形式:
$$
(\pi P - \pi)^\mathrm{T} = 0
$$
在MATLAB中,我们可以使用 eig
函数计算平稳分布,如下所示:
[V, D] = eig(P'); % 计算转移概率矩阵的特征值和特征向量
pi = V(:, 1)'; % 取特征值为1的特征向量作为平稳分布
pi = pi / sum(pi); % 归一化,使概率之和为1
4. 数学建模案例:天气预测
假设我们要预测一个城市的天气,这个城市只有两种天气:晴天(Sunny)和雨天(Rainy)。天气的变化可以用一个马尔可夫链建模。根据历史数据,我们得到以下转移概率矩阵:
$$
P = \begin{bmatrix}
0.9 & 0.1 \
0.5 & 0.5
\end{bmatrix}
$$
其中,第一行表示从晴天转移到晴天和雨天的概率,第二行表示从雨天转移到晴天和雨天的概率。
现在,我们使用MATLAB实现马尔可夫链来预测未来 7 天的天气。首先,定义转移概率矩阵:
P = [0.9 0.1;0.5 0.5];
假设初始天气是晴天,我们可以模拟未来 7 天的天气变化:
initialState = 1; % 1表示晴天,2表示雨天
nDays = 7;weatherSequence = zeros(1, nDays);
weatherSequence(1) = initialState;for t = 2:nDaysweatherSequence(t) = simulateMarkovChain(weatherSequence(t-1), P);
end
此外,我们还可以计算这个马尔可夫链的平稳分布,以得到晴天和雨天的长期概率:
[V, D] = eig(P'); % 计算转移概率矩阵的特征值和特征向量
pi = V(:, 1)'; % 取特征值为1的特征向量作为平稳分布
pi = pi / sum(pi); % 归一化,使概率之和为1
现在,pi
向量包含了晴天和雨天的长期概率。例如,如果 pi
的值为 [0.8333 0.1667]
,则晴天的长期概率为 83.33%,雨天的长期概率为 16.67%。
5. 结论
马尔可夫链是一种常见的概率模型,用于描述具有随机性的序列。在本文中,我们首先介绍了马尔可夫链的基本概念,然后通过一个简单的数学建模案例,展示了如何使用MATLAB实现马尔可夫链模型。马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用,如经济学、生物学、通信网络等。了解马尔可夫链的基本原理和应用,可以帮助我们更好地理解和分析具有随机性的现象。
马尔可夫链:随机过程的数学建模及MATLAB实现相关推荐
- 卓金武——从数学建模到MATLAB
卓金武--从数学建模到MATLAB 2013-9-4 09:48| 发布者: ilovematlab| 查看: 9647| 评论: 40 摘要: 人物简介--卓金武(Steven),MathWorks ...
- matlab app设计步骤_1.1数学建模与MATLAB–MATLAB入门
1.1数学建模与MATLAB–MATLAB入门 关注本专栏,继续分享数学建模与MATLAB知识 一.MATLAB是什么? MATLAB 是目前在国际上被广泛接受和使用的科学与工程计算软件.虽然 Cle ...
- matlab或_数学建模与MATLAB——MATLAB入门
点击上方"蓝字",有更多精彩等着你噢! 关注本专栏,我们将继续分享数学建模与MATLAB知识. 你想要的,我都有! 一MATLAB是什么?MATLAB 是目前在国际上被广泛接受和使 ...
- matlab求动物繁殖问题,动物繁殖问题数学建模实验matlab程序.doc
动物繁殖问题数学建模实验matlab程序 问题: 谋农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分为三个年龄组:第一组0-5岁:第二组6-10岁:第三组11-15岁.动物从第二个年龄组开始繁殖后 ...
- 数学建模用matlab还是python_参加数学建模用 MATLAB,还是 Python?
) X Q# ~ v# e' N2 [, @0 K9 B4 C" g 参加数学建模用 MATLAB,还是 Python?作者:薛定谔的猫4 V4 q6 W" }8 m6 J9 H# ...
- u=q k 的交通流模型图 matlab,数学建模回归分析matlab版.ppt
<数学建模回归分析matlab版.ppt>由会员分享,可在线阅读,更多相关<数学建模回归分析matlab版.ppt(51页珍藏版)>请在装配图网上搜索. 1.2020/11/2 ...
- 数学建模matlab和python_参加数学建模用 MATLAB,还是 Python?
你应该学习吉他还是钢琴?你应该学习足球还是篮球?你应该学习化学还是物理学?这些问题的答案取决于你的兴趣点在哪里,方向选择是什么,而后再说选什么 :让我们借助比较通俗的方式切入,来讨论Matlab和Py ...
- 数学建模python和java_参加数学建模用 MATLAB,还是 Python?
用哪个不重要,重要的是能找到代码!代码查找和改写的能力很重要!建模就三天的时间,纯打代码肯定是来不及的,必须要找点套路!!! 一般情况下,这两个软件都可以,不过大多数人会选择使用MATLAB ,因为用 ...
- 数学建模酶促反应matlab求解,数学建模——酶促反应.doc
数学建模--酶促反应 数学建模 摘要 本文针对嘌呤霉素在某项酶促反应中对反应速度和底物浓度之间的关系的影响的问题,根据实际可知符合底物浓度与反应速度的模型有两种,即Michaelis-Menten模型 ...
最新文章
- Ubuntu - 重置忘记的root密码
- linux查看目录文件系统,ubuntu linux 文件系统目录结构-Windows下查看电脑信息的命令-linux菜鸟也必须知道的几个ubuntu最基础命令_169IT.COM...
- php 不识别 函数,奇怪的PHP错误:函数无法识别自己的参数
- 前端和后端哪个工资高_嵌入式软硬件工程师哪个更有前途,工资还高
- jdom 读取xml_JDOM分析器–将XML文件读取为Java对象
- if condition 大于_西门子进一步扩展Sinumerik Edge 平台的应用程序AnalyzeMyMachine/Condition...
- 阻止路由跳转得方式_vue中路由跳转的三种方式 简洁易懂
- 傅里叶光学 matlab,基于MATLAB的傅里叶光学实验的计算机模拟
- uC/os内存优化——TLSF算法
- 金融市场联动相关、风险测度、风险溢出 Copula、CoVaR、Garch、DCC、藤Vine、BEKK、SV、ECM
- 卷积编码--维特比译码
- 用计算机解决线性代数,线性代数问题计算机应用.doc
- 电动汽车对系统运行的影响(Matlab实现)
- order by case when 使用方法
- 这个疯子整理的十万字Java面试题汇总,终于拿下40W offer!(JDK源码+微服务合集+并发编程+性能优化合集+
- Apache doris 使用过程中常见问题汇总
- 勉励自己毕业前必须做到的几件事情
- 拨号上网、ISDN、ADSL、光纤上网比较
- STM32单片机基于HAL库开发HC-SR04 超声波测距模块(终极版)
- 【数据挖掘导论】对于决策树要掌握的几个问题