拓扑空间

拓扑空间指一对 (X,O)(X,\mathcal{O})(X,O) ，其中X是一个集合， O\mathcal{O}O 是 P(X)\mathcal{P}(X)P(X) 的一个子集，并需要满足以下条件。

对任何一族 (Oi)i∈I(O_i)_{i\in I}(Oi)i∈I ，其中 Oi∈OO_i\in \mathcal{O}Oi∈O 其并集 ∪i∈IOi∈O\cup _{i\in I}O_i\in \mathcal{O}∪i∈IOi∈O (集合I可以是有限集也可以是无限集)；对任何有限个 (Oj)j=1n(O_j)^n_{j=1}(Oj)j=1n ，其中 Oj∈OO_j\in\mathcal{O}Oj∈O ，其交集 ∩j=1nOj∈O\cap_{j=1}^n O_j \in \mathcal{O}∩j=1nOj∈O ；集合X和空集属于 O\mathcal{O}O
- 这里的 OiO_iOi 都是 O\mathcal{O}O 的一个个元素（参见之前选择公理前的元素族），那么由于 O\mathcal{O}O是 P(X)\mathcal{P}(X)P(X) 的子集，而 P(X)\mathcal{P}(X)P(X) 是 X的子集的集合，那么 O\mathcal{O}O 自然也是集合的集合，它的元素都是 XXX 的子集，对任何一个 III 为指标的元素族 (Oi)i∈I(O_i)_{i\in I}(Oi)i∈I ，它的并集根据定义就是存在 i∈Ii\in Ii∈I 使 o∈Oio \in O_io∈Oi 的元素 ooo 的集合。换句话讲，就是每个根据 i 从 OiO_iOi 里抽出来的小元素 o 的集合。
- (Oj)j=1n(O_j)^n_{j=1}(Oj)j=1n 则是一个n维元，其指标集为 I={1,…,n}I = \{1,\dots,n\}I={1,…,n} ，所以其实就是 (O1,O2,......,On)(O_1,O_2,......,O_n)(O1,O2,......,On) ，没错和向量长得贼像。它的交集也是一个集合，是对所有的i，都能找到对应的 OiO_iOi 的元素组成的集合

有的地方说，拓扑空间就是一个集合和其上定义的拓扑结构构成的二元组 (X,O)(X,\mathcal{O})(X,O) ，X的元素x 通常就是拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal{O})(X,O) 上的点。好像和上面的定义蛮接近的嗷，按这个说法来讲， O\mathcal{O}O 就是一个拓扑结构了。

所以我又找了一个根据拓扑结构来定义拓扑空间的定义，符号还用 X,OX,\mathcal{O}X,O

若 XXX 是非空集合，若它的一个子集族(这个子集族就是 P(X)\mathcal{P}(X)P(X) 的子集了呗) 满足：
- 1. {X,∅}⊂O\{X,\emptyset\} \subset \mathcal O{X,∅}⊂O
- 1. O\mathcal OO 中任意多个成员的并集都在 O\mathcal OO 中
- 1. O\mathcal OO 中两个成员的交集仍然在 O\mathcal OO 中
    则称 O\mathcal{ O}O 为X的一个拓扑，称 {X,O}\{X,\mathcal{ O}\}{X,O} 为一个拓扑空间，称 O\mathcal{O}O 中的成员为这个拓扑空间的 O\mathcal{O}O 开集，简称开集。

这个定义和最开始书上给的定义几乎是一样的，那个对 O\mathcal{O}O 的限制条件其实就是拓扑的条件嘛。

开集和闭集

如果 (X,O)(X,\mathcal{O})(X,O) ，是一个拓扑空间，称集合 XXX 被赋予一个拓扑(对应于 P(X)\mathcal{P}(X)P(X) 的子集 O\mathcal{O}O ) （欸！和我刚才说的一毛一样！）， XXX 中属于 O\mathcal{O}O 的子集称为开集；设 FFF 是 XXX 的子集，若 X−FX - FX−F 是开集，则 FFF 是闭集。
- 再来默叨一边， O\mathcal{O}O 是X的子集族的子集，它定义了一个拓扑结构，它的子集都是开集。后半句的意思是，如果 X−FX-FX−F 是 O\mathcal{O}O 的子集，那么F就是闭集。总而言之， XXX 的子集里面如果在 O\mathcal{O}O 中，那就是开集，如果不在那就是闭集。
给定任何一个闭集族 (Fi)i∈I(F_i)_{i \in I}(Fi)i∈I ，其交集 ∩i∈IFi\cap_{i\in I}F_i∩i∈IFi 是闭集；给定任意有限个闭集 (Fj)j=1n(F_j)^n_{j=1}(Fj)j=1n ，其并集 Uj=1nFjU_{j=1}^nF_jUj=1nFj 是闭集；集合 XXX 和空集是闭集。（可由De Morgan定律计算）
- 交并运算不改变闭集嘛
在拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal{O})(X,O) 中，点 x∈Xx\in Xx∈X 的邻域是X的包含由点x的某开子集的任何子集，点 x∈Xx \in Xx∈X 的所有邻域组成的集合记作 ν(x)\nu(x)ν(x)

通常拓扑

Rn\mathbb R^nRn 中按欧几里得空间的度量确定的拓扑在X上的相对拓扑称为X上的通常拓扑。
这话还挺不是人话的。
按书上的话，有例子，就是比如 a,b∈Ra,b\in\mathbb Ra,b∈R ，满足 a<ba<ba<b ，即 ]a,b[:={y∈R,a<y<b}]a,b[:=\{y\in \mathbb{R},a<y<b\}]a,b[:={y∈R,a<y<b} ，拓扑空间 (R,O)(\mathbb{R},\mathcal{O})(R,O) ，那么 O∈OO\in\mathcal{O}O∈O 的充要条件就是对任何 x∈Ox\in Ox∈O ，存在 a<ba<ba<b ，使得 x∈]a,b[x\in]a,b[x∈]a,b[ ，而且 ]a,b[⊂O]a,b[\subset O]a,b[⊂O 。
说的也不太清楚。
先简单按照区间那样理解好了。

定理设 R\mathbb{ R}R 赋予通常拓扑，则其中的任何非空开子集都可以表示为有限个或可数无限个互不相交的有界或无界的开区间的并集。

就是能用不重叠的区间拼起来呗？

一些基本概念

若 (X,O)(X,\mathcal{O})(X,O) 是一个拓扑空间，A是X的子集

内部: 含于A的所有开集的并集是A的内部，记作 A˚orintA\mathring A ~~ or ~~ int AA˚ or intA ,有
A˚=intA:={x∈X;A∈ν(x)}\mathring{A} = int A:=\{x\in X;A\in \nu(x)\}A˚=intA:={x∈X;A∈ν(x)}

闭包: 包含A的所有闭子集的交集，记作 A‾\overline{ A}A ，有
A‾:={x∈X;∀V∈ν(x),V∩A≠∅}=X−{int(X−A)}\overline{A}:=\{x\in X;\forall V\in \nu(x) ,V\cap A\not ={\emptyset} \} = X-\{int(X-A)\}A:={x∈X;∀V∈ν(x),V∩A=∅}=X−{int(X−A)}

边界: A的边界为 A‾\overline{A}A 和 X−A‾\overline{X-A}X−A 的交集，记作 ∂A\partial A∂A ，即
∂A:={x∈X;∀V∈ν(x),V∩A≠∅,V∩(X−A)≠∅}\partial A := \{x\in X;\forall V\in \nu(x), V\cap A \not ={\emptyset} ,V\cap(X-A)\not ={\emptyset}\}∂A:={x∈X;∀V∈ν(x),V∩A=∅,V∩(X−A)=∅}

支集: f:X→Kf:X\to Kf:X→K 的支集是指集合 suppf:={x∈X;f(x)≠0}‾supp f:=\overline{\{x\in X;f(x)\not ={0}\}}suppf:={x∈X;f(x)=0}

稠集: 若 A‾=X\overline{A} = XA=X 则称 AAA 在 XXX 中稠密

可分: 包含一个有限可数无限的稠密子集，即存在 xn∈X,n≥0x_n \in X,n\ge 0xn∈X,n≥0 使得 ∪n=0∞{xn}‾=X\overline{\cup_{n=0}^\infty\{x_n\}} = X∪n=0∞{xn}=X

Hausdorff: 如果对任意两个不同的点，存在x的邻域V和y的邻域W，使得 V∩W=∅V\cap W=\emptysetV∩W=∅ ，那么称 X 为 Hausdorff 空间或具有 Hausdorff 拓扑。（就是有两个不相交的邻域嘛？）

正规: 对X中任意给定的两个互不相交的闭子集 F1F_1F1 和 F2F_2F2 ，存在互不相交的开子集 O1O_1O1 和 O2O_2O2 ，使得 F1⊂Q1F_1\subset Q_1F1⊂Q1 ， F2⊂Q2F_2\subset Q_2F2⊂Q2 。正规空间是Hausdorff空间。（比Hausdorff空间的条件更强）

极限: 若X为拓扑空间， xn∈X,n≥0x_n \in X,n\ge 0xn∈X,n≥0 ，若存在 x∈Xx\in Xx∈X ，对x的任意邻域V，存在整数 n0=n0(V)≥0n_0 = n_0(V)\ge 0n0=n0(V)≥0 ，使得当 n≥0n\ge 0n≥0 时 xn∈Vx_n\in Vxn∈V ，则称x为序列 (xn)n=0∞(x_n)_{n=0}^\infty(xn)n=0∞ 的极限，记作
x=lim⁡n→∞xnorxn→n→∞xorx(n→∞)x = \lim_{n\to\infty}x_n ~~ or ~~ x_n \mathop{\rightarrow}\limits_{n\to\infty} x ~~or~~ x(n\to \infty)x=n→∞limxn or xnn→∞→x or x(n→∞)
表示 xxx 为收敛序列 (xn)n=0∞(x_n)_{n=0}^\infty(xn)n=0∞ 的极限

映射收敛: fn:X→Yf_n:X\to Yfn:X→Y 的序列 (fn)n=0∞(f_n)_{n=0}^\infty(fn)n=0∞ 点态收敛于映射 f:X→Yf:X\to Yf:X→Y 是指对每个 x∈Xx\in Xx∈X ,当 n→∞n\to \inftyn→∞ 时吗， fn(x)→f(x)f_n(x)\to f(x)fn(x)→f(x)

乘积拓扑: 对任意一族拓扑空间 (Xi,Oi)，i∈I(X_i,\mathcal{O}_i)，i\in I(Xi,Oi)，i∈I ，乘积集合 X=Πi∈IXiX=\Pi_{i\in I}X_iX=Πi∈IXi 上的乘积拓扑定义为：在此拓扑下子集 O⊂XO\subset XO⊂X 称为开集是指对任何 x∈Ox\in Ox∈O ，存在开集 Oi∈OiO_i\in\mathcal{O}_iOi∈Oi 的有限族 (Oi)i∈J(x)(O_i)_{i\in J(x)}(Oi)i∈J(x) ，使得
x∈(Πi∈J(x)Oi)×(Πi∈I(x)Xi)x\in(\mathop{\Pi}\limits_{i\in J(x)} O_i) \times (\mathop{\Pi}\limits_{i\in I(x)} X_i)x∈(i∈J(x)ΠOi)×(i∈I(x)ΠXi) 且 (Πi∈J(x)Oi)×(Πi∈I(x)Xi)⊂O(\mathop{\Pi}\limits_{i\in J(x)} O_i) \times (\mathop{\Pi}\limits_{i\in I(x)} X_i) \subset O(i∈J(x)ΠOi)×(i∈I(x)ΠXi)⊂O
其中 I(x)=I−J(x)I(x) = I-J(x)I(x)=I−J(x)

泛函分析笔记(三) 拓扑空间的基本概念相关推荐

J2EE学习笔记三：EJB基础概念和知识收藏
J2EE学习笔记三:EJB基础概念和知识收藏 EJB正是J2EE的旗舰技术,因此俺直接跳到这一章来了,前面的几章都是讲Servlet和JSP以及JDBC的,俺都懂一些.那么EJB和通常我们所说的Ja ...
计算机等级考试网络,全国计算机等级考试三级笔记三（网络的基本概念）
第三章网络的基本概念计算机网络形成与发展大致分为如下4个阶段: 1 第一个阶段可以追述到20世纪50年代. 2 第二个阶段以20世纪60年代美国的APPANET与分组交换技术为重要标志. 3 第三 ...
泛函分析笔记1：度量空间
这一章节研究度量空间的基本结构,在开始前,我们需要思考几个问题: 什么是度量空间? 我们为什么要首先学习度量空间呢? 在这篇笔记的最后再来回答这个问题. 文章目录 1. 度量空间定义 2. 开集 2. ...
泛函分析笔记4：Hahn-Banach定理
前面三章讲了很多东西,但实际上都只是开胃小菜 >__<,度量空间.赋范空间.内积空间等等都是为了我们接下来要讲的四大定理做铺垫.泛函中的四大定理,即 Hahn-Banach 定理.一致有界 ...
MySQL学习笔记02【SQL基本概念与通用语法、数据库的CRUD操作】
MySQL 文档-黑马程序员(腾讯微云):https://share.weiyun.com/RaCdIwas 1-MySQL基础.pdf.2-MySQL约束与设计.pdf.3-MySQL多表查询与事务 ...
机器学习框架ML.NET学习笔记【1】基本概念与系列文章目录
一.序言微软的机器学习框架于2018年5月出了0.1版本,2019年5月发布1.0版本.期间各版本之间差异(包括命名空间.方法等)还是比较大的,随着1.0版发布,应该是趋于稳定了.之前在园子里也看到 ...
python慕课笔记_MOOC python笔记(三) 序列容器：字符串、列表、元组
Python Python开发 Python语言 MOOC python笔记(三) 序列容器:字符串.列表.元组容器概念容器是Python中的重要概念,分为有序与无序. 有序容器也称为序列类型容器 ...
泛函分析笔记3：内积空间
我们前面讲了距离空间.赋范空间,距离空间赋予了两个点之间的距离度量,范数赋予了每个点自身的长度度量,而范数则可以导出距离.本章要讲的内积可以看成是更加统一的定义,因为从内积我们可以导出范数,进而导出距 ...
GAMMA初学笔记三
GAMMA初学笔记三简单记录下学习过程,以防后面自己忘记,如果有问题,欢迎大家交流留言. 一.语法记录 1.查看影像经纬度范围 SLC_corners 20190424.mli.par 2.拼接哨兵 ...

泛函分析笔记(三) 拓扑空间的基本概念

文章目录

拓扑空间

开集和闭集

通常拓扑

一些基本概念

泛函分析笔记(三) 拓扑空间的基本概念相关推荐

最新文章

热门文章