数字电路基础知识——数字IC中的进制问题（原码，反码，补码以及各进制的转换）

本节介绍数值和码制的问题，重点需要理解的是关于补码的相关知识。

一、进制的表示

以10、2进制为例：
对于10进制数123.45：

对于整数 n 位，小数 m 位 2进制：

因此，对于一个整数 n 位，小数 m 位的 r 进制：

二、进制的转换

十进制数转化为R进制数：
整数部分，除R取余法，除到商为0为止。
小数部分，乘R取整法，乘到积为1为止。
如：
127 = 0111_1111
-127 = 1111_1111
127.375 = 0111_1111.011
-127.375 = 1111_1111.011
二进制转化为十进制：
按权的展开利用上面的展开式进行计算。
如：
八进制、十六进制与二进制的转换
二进制，从小数点开始，向左或向右四位为十六进制，三位为八进制
如：

三、原码，反码，补码，符号-数值码。

以4bit为例，给出各自表示的数值范围。

原码：
符号位+真值，最高位表示符号位。
0表示正数，1表示负数
[+3]原 = 0011
[-3]原 = 1011
原码中0000和1000都表示0。
一个n bit位的有符号数，他表示的范围是 -2^n-1~2^n-1
反码：
正数的反码是它本身，负数的反码将原码除符号位外逐位取反。
[+3]原 = [0011]原 = [0011]反
[-3]原 = [1011]原 = [1100]反
表示范围：-7到+7
反码中0000和1111都表示0。
一个n bit位的有符号数，他表示的范围是 -2^n-1~2^n-1
补码：
正数的补码是它本身，负数的补码将原码除符号位外逐位取反再加1。以4bit为例。
负数的补码这种原理：是因为一个n位的符号负数X，和X+2^n-1是同模的。
如：
四位有符号数-6（1110）和-6 + 8 = 2（0010是同模的）
取反操作，相当于加2^n-1-1，所以还需要再加1
[+3]原 = [0011]原 = [0011]反 = [0011]补
[-3]原 = [1011]原 = [1100]反 = [1101]补
表示范围：-8到+7
补码中0的表示只有一种形式，即0000， 1000表示-8。
一个n bit位的有符号数，他表示的范围是 -2^n-1~2^n-1-1

以上是有符号数，对于无符号数来说都是来表示整数，其原码、反码、补码都是其本身。

对于三位二进制带符号的原码、补码、反码对照表

十进制数	原码	反码	补码
+7	0111	0111	0111
+6	0110	0110	0110
+5	0101	0101	0101
+4	0100	0100	0100
+3	0011	0011	0011
+2	0010	0010	0010
+1	0001	0001	0001
+0	0000	0000	0000
-1	1001	1110	1111
-2	1010	1101	1110
-3	1011	1100	1101
-4	1100	1011	1100
-5	1101	1010	1011
-6	1110	1001	1010
-7	1111	1000	1001
-8	1000	1111	1000

需要特别注意的是+0 -8 两个数的码制。
原码和补码是自己的有正数、0、和 2^n-1、-4

四、码制的运算

原码运算
首先符号位不参与运算，单独处理
设A、B表示绝对值，有下列两大类八种情况
第一种：
(+A) + (+B) = (+A) - (-B)
(-A) + (-B) = (-A) - (+B)
同符号数相加或者异号数相减，运算规则为绝对值相加，取被加数或被减数的符号
第一种：
(+A) - (+B) = (+A) + (-B)
(-A) - (-B) = (-A) + (+B)
同符号数相减或者异号数相加，运算规则为绝对值相减，取绝对值较大的符号
例：
补码运算
补码加减运算规则：
补码的符号位参与加减运算并且符号位有进位时，应当舍弃。
对于补码的这种运算规则，在计算机系统中位“模数系统”，如四位的 8 + 9 = 17 与 1 是相同的结果，那么17 和 1 为同余。

例：
反码运算
当符号位有进位时，应在结果的最低位加 1 ，（循环进位）

例：

五、常用的码制

BCD码：
四位二进制数来表示一位十进制数0~9的十个状态的编码，如下：
格雷码:
格雷码的每一位按照一定的顺序循环。如最右边的一位按照0110的顺序循环，右边第二位按照00111100的顺序循环。即自右向左0、1的循环数目翻倍。
格雷码的最主要特点：各个相邻码之间仅有一位状态不同，首尾也是仅有一位状态不同。

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一、进制的表示

二、进制的转换

三、原码，反码，补码，符号-数值码。

四、码制的运算

五、常用的码制

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