习 题 一 解 答

1．取3.14，3.15，，作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：(1)绝对误差:

e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…10，3.14＝0.31410，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…

所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.510－2＝

所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

(2)绝对误差:

e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…10，3.15＝0.31510，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…

所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.510－1＝

所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

(3)绝对误差:

相对误差：

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…10，

，m=1。

而

所以

所以，作为π的近似值有3个有效数字。

(4)绝对误差:

相对误差：

有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…10，

，m=1。

而

所以

所以，作为π的近似值有7个有效数字。

指出：

①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。

2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300

解：346．7854≈346．79，

7．000009≈7．0000，

0．0001324580≈0．00013246，

0．600300≈0．60030。

指出：

注意0。

只要求写出不要求变形。

3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。

。

分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。

解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是

由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是

有效数字分别有3位、4位、4位、4位。

指出：

本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。

4.计算的近似值，使其相对误差不超过0.1％。

解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1％，则

，

而，显然，此时，

，

即，

也即

所以，n=4。

此时，。

5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对，试求它们的机器浮点数及其相对误差。

解：

其相对误差分别是

。

6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。

解：

精确计算得：

第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。

***

在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数，试按两种算法计算的值，并将结果与精确结果比较。

解：

第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。

精确计算得：

显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。

7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算

试比较所得结果。

解：从左到右计算得

从右到左计算得

从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。

8、对于有效数，估计下列算式的相对误差限

分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。

解：因为都是有效数，

所以

则

指出:

如果简单地用有效数字与误差的关系计算,则不够精确。

注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不是差。

9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确(其中表示x充分接近0，表示x充分大)。

(1)；

(2)；

(3)；

(4);

(5)。

分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。

解：(1)；

(2)

；

(3)

或

(4)

(5)

指出：

①采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。

例如

试与上例比较。

有时候这种方法可以使用，例如

因为，

当时，

在这个计算中，由于x是常数，x的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。

而利用一阶的泰勒展开，当时，就有，因此

和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。

②采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小(趋于零的变量)，因此近似计算是不能采用极限方法的。

③转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限就违背的了数值计算的本意。

所以，

是错误的。

④极小的数做除数，实际上是型的不定型，要转化为非不定型。

10、用4位三角函数表，怎样算才能保证有较高的精度？

解：根据，先查表求出再计算出要求的结果精度较高。

指出：

用度数就可以。不必化为弧度。

11、利用求方程的两个根，使它们至少具有4位有效数字。

解：

由方程的求根公式，本方程的根为

因为，则

如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此

根据韦达定理，在求出后这样计算：

这样就保证了求出的根有四位有效数字。

12、试给出一种计算积分

，

近似值的稳定算法。

解：当n＝0时，。

()。

对In运用分部积分法()得

由此得到带初值的递推关系式

由递推公式In＝1－nIn－1 解得，这是逆向的递推公式，对In的值作估计，有

另有

(取e的指数为最小值0，将ex取作 e0 ＝1作为常数即可简化公式)。

则 。

那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取

可以看出，n越大，这个近似值越精确地接近于准确值。

(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和精确值就越接近)

此时，en－1=In－1*－In－1=－(In*－In)＝ en，│e0│= │en│，计算是稳定的。

实际上，如果我们要求I9，可以先求出I20，这样求出的I9的误差是比I20的误差小得多的，而I20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的I9比直接计算出来的精确得多。

补充题(一)

1、给出数系F(10,4,-5,5)中的最大数、最小数和最小整数。

解：最大数：0.9999105；

最小数：－0.9999105；

最小正数：0.000110－5。

2、已知，求它在F(10，5，－5，5)和F(10，8，－5，5)中的浮点数。

解：在F(10，5，－5，5)中，

在F(10，8，－5，5)中，

3、已知数e的以下几个近似数，它们分别有几位有效数字？相对误差是多少？

。

分析：题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个近似数和准确数之间的误差关系。

所以，本题的解答应当从求近似数的误差开始。

解：因为

，

所以，分别有4、5、8个有效数字。

其相对误差分别是

4、数与下述各式在实数的意义上是相等的，

(1)，(2)，(3)，(4)，

(5)，(6)。

试说明在浮点数系中，用哪个公式计算出的结果误差最小。

分析：本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的基本原则进行分析讨论。

解：在本例中，显然3和在浮点数系中是相近的数。进一步地，17和、19601和也是相近的数。因此：

①为避免相近的数相减，不应采用(1)、(3)、(5)三种计算方法。

②在余下的三种计算方法中，(2)需要进行4次乘除法，(4)需要进行7次乘除法，(6)需要进行1次除法。从减少运算次数来说，应采用(6)。

所以，采用(6)计算，计算结果误差最小。

5、，当时，如何计算才能获得准确的结果？

解：当(即很小时)，f(x)的分子是两个相近的小数相减，而分母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变形。

由泰勒展开得

因此

此处最后略去部分的第一项为

当时，这一部分是相当小的值，可以略去。

指出：

如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项。

补充题(二)

(一)

1、计算e的近似值，使其误差不超过10－6。

2、利用

计算f(0.1)的近似值，其误差不超过10－2，求n。

3、3.142和3.141分别作为π的近似数，各有几位有效数字？

4、已知近似数x的相对误差限为0.3％,问x至少有几个有效数字？

5、已知x的下列3个近似数的绝对误差限都是0.005，问它们的有效数字各有几位？

a=138.00，b=-0.0132，c=-0.8610-4

6、设近似值x=1.234，且绝对误差界为0.0005，则它至少有几位有效数字？

7、某校有学生6281人，通常说有6000人。下面哪个式子表示6000这个近似数合适？

分析与解答

1、解：令f(x)=ex,而f(k)(x)=ex,f(k)(0)=e0=1。由麦克劳林公式，可知

当x=1时，

故。

当n＝9时，Rn(1)<10－6，符合要求。此时，

e≈2.718 285

解决这类问题其实很简单。只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的计算了。

泰勒(Taylor)中值定理：若函数f(x)在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在(a,b)上存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，,b]，至少存在一点ξ∈(a，,b)，使得

其中，

叫做拉格朗日型余项。

当x0=0时,得到麦克劳林公式。

2、解：

所以，n=2。

3、

π＝3.14159265…=0.314159265…10，3.142＝0.314210，m=1。

因为π－3.142＝3.14159265…－3.142＝－0.00040…

所以，│π－3.142│＝0.00040…≤0.0005=0.510－3＝

所以，3.142作为π的近似值有4个有效数字。

小数点后几个0，10的指数的绝对值就是几。

4、解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9，则

，

由上可得

，

n≈2.2，

所以取n=2。

5、解：，

所以m-n=-2。

a=138.00=0.13800103，则m=3，所以n=3-(-2)=5，

即a有5位有效数字；

b=-0.0132=-0.13210-1，则m=-1，所以n=-1-(-2)=1，

所以b有1位有效数字。

c=-0.8610-4，则m=－4，所以n=－4-(-2)=－2<0，

所以c没有有效数字。

6、解：因为近似数x=1.234的绝对误差界为0.0005，

所以，

则m-n=-3。

而x=1.234＝0.1234101，

则m=1，

所以n=1-(-3)=4，

所以，x=1.234有4位有效数字。

7、解：哪个式子表示6000这个近似数合适实际上要看近似数6000有多少个有效数字。

6281近似到十位、百位，千位分别是

写成科学记数的形式分别是

可见，上述写法中，第一种是合适的。

实际上，

所以m=4,

而

所以m-n=3，

则n=m-3=4-3=1，

即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有这种写法是合适的。

(二)

1、已知测量某长方形场地的长为a＝110米，宽为b＝80米。若

│a*－a│≤0.1(米)，│b*－b│≤0.1(米)，

试求其面积的绝对误差限和相对误差限。

2、已知三角形的两个内角的测量误差都不超过0.1，则计算第三个角时，绝对误差不超过多少。

3、若x1=1.030.01，x2=0.450.01，计算的近似值并估计误差。

4、已知测量某长方形场地的长为a＝110米，宽为b＝80米。若

│a*－a│≤0.2(米)，│b*－b│≤0.1(米)，

试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab的绝对误差限和相对误差限，并与四则运算的误差分析比较。

5、如果用电表测得一个电阻两端的电压和通过的电流分别是

V=1102(V)，I=200.5(A)

试运用欧姆定律求这个电阻值R的近似值，并估计所求出的近似值的绝对误差和相对误差。

6、已知近似值a1=2.21,a2=4.63,a3=7.98是由四舍五入得到的，它们的绝对误差界都是0.005试估计和的相对误差界。

分析与解答

1、

2、提示：内角和为180，而且180是准确数，没有误差。

3、由已知，x1=1.03，△x1＝0.01，x2=0.45，△x2＝0.01。所以，

ε(x1)＝△x1＝0.01，ε(x2) ＝△x2＝0.01。

所以，y的绝对误差限为

将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为

，

则y的相对误差限为

进一步地，本题的绝对误差限可以看作是0.05，那么计算结果中只需要保留到百分位就可以了，即最终结果取1.8，那么计算过程中各数只需要取到千分位。)

4、(。

6、略解。

则

所以，

则相对误差限为

下略。

解二:

根据函数的函数值的绝对误差

。

相对误差

公式计算。

(三)

1、用秦九韶算法的多项式格式乘法计算多项式

P(x)=x7-2x6-3x4+4x3-x2＋6x-1

在x=2处的值p(2)。

2、利用等价变换使下面式子的计算结果比较精确。

。

3、指出下列各题的合理计算途径(对给出具体数据的，请算出结果)

［1］1－cos1○(三角函数值取四位有效数字)

［2］(对数函数值取六位有效数字)

［3］ (其中x的绝对值很小)

［4］x127

［5］

4、设近似值T0=S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式

和

计算T20和S20所得结果是否可靠。

5、计算的值。

分析与解答

1、p(2)＝－9

2、

3、［1］

［2］

［3］

［4］x127＝xx2x4x8x16x32x64

［5］由小到大依次相加。

4、设计算Ti的绝对误差为e(Ti)=Ti*－Ti，其中计算T0的误差为ε，那么计算T20的误差为 e(T20)=T20*－T20＝(5T19*－142.8)－(5T19－142.8)=5(T19*－T19)

＝5e(T19)=52e(T18)=520e(T0)

显然误差被放大，结果不可靠。

同理，，误差缩小，结果可靠。

5、解：将所给多项式的系数按降幂排列，缺项系数为0。

所以。

习 题 二 解 答

1．用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间[3，4]内的根，精确到10-3，即误差不超过。

分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。

解：因为f(3)＝-10＜0，f(4)=9＞0，所以，方程在区间［3，4］上有根。

由

有2n-1＞1000，又为210＝1024＞1000，

所以n＝11，即只需要二分11次即可。

列表讨论如下：

n

an

bn

xn

f(xn)的符号

1

3

4

3.500

－

2

3.500

4

3.750

＋

3

3.500

3.750

3.625

－

4

3.625

3.750

3.688

＋

5

3.625

3.688

3.657

＋

6

3.625

3.657

3.641

＋

7

3.625

3.641

3.633

＋

8

3.625

3.633

3.629

－

9

3.629

3.633

3.631

－

10

3.631

3.633

3.632

＋

11

3.631

3.632

3.632

－

x*≈x11=3.632。

指出：

(1)注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。

(2)在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。

如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：

n

an

bn

xn

f(xn)的符号

1

3

4

3.5000

－

2

3.5000

4

3.7500

＋

3

3.5000

3.7500

3.6250

－

4

3.6250

3.7500

3.6875

＋

5

3.6250

3.6875

3.6563

＋

6

3.6250

3.6563

3.6407

＋

7

3.6250

3.6407

3.6329

＋

8

3.6250

3.6329

3.6290

－

9

3.6290

3.6329

3.6310

－

10

3.6310

3.6329

3.6320

＋

11

3.6310

3.6320

3.6315

－

(3)用秦九韶算法计算f(xn)比较简单。

1*．求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。

解：令，

则

当时，有。

函数单调区间列表分析如下：

x

(-∞,)

2

(2,+∞)

y／

+

0

－

0

+

y

－15

因为，所以方程在区间上无根；

因为，而函数在上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；

因为，函数在(2,+∞)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，

而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在区间(3,4)有一个根。

所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。

2．证明在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于的根，需要迭代多少次？

分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。

解：令，

因为，

则，

由零点定理，函数f(x)在[0,1]区间有一个根。

由

有2n-1＞10000，又为210＝1024，213＝8192<10000，214＝16384>10000

所以n＝15，即需要二分15次。

指出：

要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。

3．试用迭代公式，求方程的根，要求精确到。

分析：精确到即误差不超过

解：令

列表进行迭代如下：

0

1

-7

1

1.53846

3.75964

2

1.29502

-1.52380

3

1.40182

0.70311

4

1.35421

-0.30667

5

1.37530

0.13721

6

1.36593

-0.06067

7

1.37009

0.02705

8

1.36824

-0.01198

9

1.36906

0.00531

10

1.36870

-0.00228

11

1.36886

0.00110

12

1.36879

-0.00038

13

1.36882

0.00025

14

1.36881

15

1.36881

指出：

精确到可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到，当终止计算。

本题采用第一种方法。

4．将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，要求精确到。

解：改写为，则

，设

有

在处，因为

所以迭代法在的邻域内收敛。

列表迭代如下：

0

0．5

1

0．71

2

0．69

3

0．69

此时。

5．为求方程在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：

试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。

解：(1)因为，所以迭代函数为，则

，满足局部收敛性条件，所以迭代公式具有局部收敛性。

(2)因为,所以迭代函数为,则

,

满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。

(3)因为，所以迭代函数为，则

，

不满足收敛性条件，所以迭代公式

不具有收敛性。

用迭代公式列表计算如下：

0

1．5

1

1．444

2

1．480

3

1．457

4

1．471

5

1．462

6

1．468

7

1．464

8

1．467

9

1．465

10

1．466

11

1．465

所以，方程的近似根为。

6．设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？

解：设C为常数，因为，所以，要使迭代公式具有局部收敛性，需，此时即有，也即

。即只要C取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。

指出：

本题的一般形式为：

设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？

显然，是迭代格式相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是。也就是说，这是如何选择C，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。

因为，所以，

要使迭代格式收敛，需

解之得，

即C与异号，且。

下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：

因为，所以当时，有，则，即函数的不动点为。

而，

根据局部收敛性定理，

当时，迭代格式收敛到；

当时，迭代格式收敛到。

7．用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根，要求。

解: 因为

所以有，相应的迭代公式为

取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：

k

0

1

2

3

xk

2

1.8889

1.8795

1.8794

因为,符合计算的精度要求,所以

。

8．用牛顿法解方程，导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。用此公式求0.324的倒数，设初始值，要求计算有5位有效数字。

解：对于方程，有，相应的迭代公式为

。

应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下

0

3

1

3．084

2

3．0864

3

3．0864

所以。

指出：

如果将方程改写为等价的，则有，相应的迭代公式为

无法展开迭代。

9．设a为已知数，试用牛顿法导出求的迭代公式，并求极限

。

解：设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程的解为

此即求的迭代公式。

由此，则

指出：

本题中，表面上是的问题，但实际上却是的问题，才是极限过程中实际的变量。

本质上。本题实际上是求极限

由于讨论的是型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两次应用罗必塔法则。

解二：首先证明一个定理：

定理：设，又设f(x)在的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。

。

证明：因为

所以

因为f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以在邻域内连续，且

由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。

对求导，根据条件有

由收敛阶定理，若，则，牛顿迭代法二阶收敛，若，则，牛顿迭代法有更高的收敛阶。

因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以

。

显然

如果是方程f(x)=0的单根，则，且。

此时，则，

可见定理中的条件“”可以等价替换为“是方程f(x)=0的单根”

对本题来说，

，是方程的单根，

所以

则

。

指出：

应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。

10．用快速弦截求方程在初始值邻近的实根(取，要求精确到)。

解: 因为

所以有，相应的迭代公式为

取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：

k

xk

xk-xk-1

f(xk)

f(xk)- f(xk-1)

0

2

1

1

1．9

-0.1

0.159

-0.841

2

1．8811

-0.0189

0.0130

-0.146

3

1．8794

-0.0017

0.0001

-0.0129

4

1．8794

因为,符合计算的精度要求,所以

。

指出：

本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法(割线法)，而它所说弦截法是通常的单点弦截法。

11、分别用下列方法求方程在邻近的根，要求有三位有效数字。

(1)用牛顿法，取；

(2)用弦截法，取；

(3)用快速弦截法，取。

解：方程变形为，

则。

牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为

(1)牛顿法

；

(2)弦截法

；

(3)快速弦截法

。

取3位有效数字，分别计算得

k

xk

牛顿法

弦截法

快速弦截法

0

0．785

0．785

0．785

1

1．59

1．57

1．57

2

1．41

1．33

1．33

3

1．39

1．40

1．38

4

1．39

1．38

1．40

5

1．39

1．39

6

1．38

1．39

补充题

(一)

1、确定方程x5+x-10＝0的根的个数，找出隔根区间。

2、用二分法求方程f(x)=x3＋2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.005。

3、用二分法求方程f(x)=x3－2x-5=0在［2，3］的根的近似值，要求误差不超过0.05。

4、用二分法求方程的非零实近似根，使误差不超过10－2。

5、分析方程的根的分布情况，并用二分法求正根的近似值，使误差不超过10－2。

6、估计用二分法求方程f(x)=x3＋4x2-10=0在［1，2］内的根的近似值，为使误差不超过10－5时所需要的二分次数。

分析与解答

1、令,

,

显然,而且函数没有不可导点,

所以，函数在区间上是单调增的，

故方程最多有一个根。

因为，

所以方程在(0，2)区间有一个根，(0，2)即为方程的隔根区间。

2、因为f(2)=7＞0，f(3)=28＞0，实际上本方程在指定范围内无根。但如果不加判定，也可以计算出一个值来。所以，用二分法求方程的根必须先行判定。要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。

3、因为f(2)=－1＜0，f(3)=16＞0，所以方程在区间上有解。

，所以，2n＞20，n=5。

x*≈2.10

4、画出y=sinx和的曲线，可以看出，

两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个

交点。交点的横坐标介于1.5与2之间(显然，

π／2≈1.5，sin(π／2)=1，，所以在π／2点，

f(x)＞0，而当x＝2时，，sinx＜1,所以在2点，

f(x)＜0。

5、画出y=sinx和的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.8与1.9之间(根据图像，用计算器计算估计，当sinx的值从大于的值变为小于时，隔根区间就找到了)。

要求│x*－xn│≤0.01，可以求出用二分法计算的次数。

在区间［1.8，1.9］上，因为

所以，n=4。

具体计算过程如下

n

an

bn

xn

f(xn)的符号

1

1.8

1.9

1.85

＋

2

1.85

1.9

1.875

＋

3

1.875

1.9

1.8875

＋

4

1.8875

1.9

1.89

＋

所以，x*≈x4＝1.89

指出：

确定求根区间和根的初始近似值，应用MATLAB工具，用交轨法是重要的途径，可以先确定大致范围，再缩小区间重新画图精细化。在用普通的手工画草图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。

6、│x*－xn│≤10－5，即 ，所以 2n≥105。

因为215＝32768，216＝65537，217＝131072，所以n=17。

(二)

1、对于方程3x2－ex＝0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间［a,b]，使得当x0∈[a,b]时，相应的迭代过程xk+1=g(xk)收敛到要求的根。

2、证明：当x0=1.5时，迭代法

和

都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间［1，2］内的唯一实根x*，分别用上述迭代法求满足精度│xk+1－xk│≤10－5的近似根。

3、为求方程f(x)=x3－x2－1＝0在x0＝1.5附近的一个根，可将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式

［1］改写成,迭代公式为；

［2］改写成x3=1+x2，迭代公式为；

［3］改写成，迭代公式为。

试分析每一种迭代公式的收敛性。

分析与解答

1、根据3x2和ex的图像可知，方程3x2－ex＝0在实数域上有三个根，分别在区间(－1,0)，(0,1)，(3,4)内。其最大正根在［3，4］区间，最小正根在［0，1］区间。取迭代函数g(x)=ln3x2，可以得到最大正根，而取迭代函数，可以得到最小正根。

2、两种迭代法的迭代函数分别在区间［1，2］和［1，1.5］上满足定理2(不动点原理)的条件，故当x0=1.5时两种迭代法都收敛，且分别迭代9次和25，都可得到近似根1.36523。

我们讨论第一种迭代法，用定理2证明。它的迭代函数为。

首先，g(x)是一个减函数，当x=1时，，当x＝2时，。所以当x∈[1,2]时，1＜g(2)≤g(x)≤g(1)＜2，即g(x)∈[1,2]。

其次，，显然这是一个增函数，当x＝2时，其函数值为

，所以，g／(x)＜ g／(2)＜1。

指出：只给出了含根区间，就只能用定理2证明。

3、［1］给出了初始近似值，也即知道了精确根的大致位置，可以用定理4(局部收敛性定理)证明。

由题意，方程有实根。下面证明g／(x)连续和g／(x*)＜1(x*是方程的精确根)。

方程，可见g／(x)在1.5及其附近是连续减函数，因为g(1.5)= －0.59，1.5又在x*的邻域内，由函数g／(x)的连续性，g／(x*)＜1，所以此迭代法具有局部的收敛性。

指出：

一般地说，用定理2(不动点原理)证明只要利用函数的单调性与区间上的最值就可以讨论，而用定理4(局部收敛性定理)则需要用到函数的连续性。

习 题 三 解 答

1、用高斯消元法解下列方程组。

(1)

解：，消去第二、三个方程的，得：

再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：

回代，得：

，，

所以方程组的解为

注意：

①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。

②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。

要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。

矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。

一般形式或分量形式：

矩阵形式

向量形式

③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。

④消元顺序，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。

⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。

(2)

解：，消去第二、三个方程的，得：

再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：

回代，得：

，

所以方程组的解为

2、将矩阵

作LU分解。

解：设

根据矩阵乘法，先求U的第一行，由，得

。

再求L的第一列，由矩阵乘法，因为，所以，而，所以，所以。

再求U的第二行，得

，则

，

，则

，

，则

，

再求L的第二列，得

，则

，则

再求U的第三行，得

，则

，则

再求L的第三列，得

，则

再求U的第四行，得

，则

所以，矩阵A的LU分解为：

指出：

用分数而表示元素，不能化成近似小数也不化成小数表示。

3、用LU分解紧凑格式分解法解方程组。

解一，用一般格式求解：

将系数矩阵作LU分解得：

Ly=b方程组为

解之得

同样地，解方程组Ux=y得

。

解二，用LU紧凑格式分解法求解：

对增广矩阵三角分解：

原方程组化成同解的上三角方程组为：

回代得

。

指出：

紧凑格式是直接应用公式进行计算，计算结果保存在A的相应元素位置。从算法的角度，紧凑格式实际体现在数据的存储方法上。

由于紧凑格式计算时不再需要A的前面的元素，因此可以进行。

4、 用列主元的三角分解法解线性方程组。

解一，列选主元素消元法：

先选第一列主元为，将第一个方程与第二个方程交换，消去得：

再选第二列主元为，交换第二、三两个方程，消去得三角形方程组：

回代求得方程组的解，，

所以方程组的解为

。

解二，列主元素三角分解法：

同解的三角形方程组为

回代求得方程组的解，，

所以方程组的解为

。

说明：

用矩阵讨论中，矩阵元素进行了化简。

5．用追赶法解方程组

。

分析：

三对角矩阵

可以分解如下形式的两个矩阵：

。

即

由矩阵乘法规则，有

，

这样可以求出矩阵L和U的所有元素。

设有系数矩阵为A的方程组：

，

这样的方程组称为三对角方程组。

三对角方程组经LU分解分解为

，

求解之

，

这就是所谓追赶法。

解：由公式

由此得下三角方程组

和上三角方程组

解上三角方程组

代入并解上三角方程组

6、用改进的Cholesky分解法解方程组

解：设此方程组的系数矩阵为A，右端向量为b，则

矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。

设

由矩阵乘法得

由

得

，

再由

得

。

7、用改进的Cholesky分解法解方程组

解：

解下三角方程组

得

解上三角方程组

得

指出：

6、7两题应用一般的乔累斯基分解而没有采用书上的方法。

用MATLAB求解为：

>> format rat

>> a=[4,1,-1,0;1,3,-1,0;-1,-1,5,2;0,0,2,4]

a =

4 1 -1 0

1 3 -1 0

-1 -1 5 2

0 0 2 4

>> [P,q]=chol(a)

P =

2 1/2 -1/2 0

0 1985/1197 -379/838 0

0 0 1179/553 1106/1179

0 0 0 5617/3180

q =

0

8、设，求

解：

9、设，求。

解：；

；

则

解之得，，

则。

指出：

三次方程可用三次方程的求根公式求出根来。

用我们学过的知识，三次方程的根有如下求法：

①用二分法求。

10、设，计算，并比较与的大小。

解：，

，

，

，

。

11、给定方程组。

(1)写出雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法的迭代格式；

(2)证明雅可比迭代法收敛而高斯－赛德尔迭代法发散。

(3)给定，用迭代法求出该方程组的解，精确到。

解：

(1)此方程组变形为

据此建立雅可比法迭代格式得

高斯－赛德尔迭代法迭代格式为

(2)证明一：用定理2证明：

系数矩阵

雅可比迭代法的迭代矩阵为

，

则

令

，

则，

所以ρ(BJ)=0<1

所以雅可比迭代法收敛。

高斯－赛德尔迭代法的迭代矩阵为

由此求出

所以，高斯－赛德尔迭代法发散。

证明二：用定理5证明：

，

令

，

则，

所以ρ(BJ)=0<1

所以雅可比迭代法收敛。

而

所以ρ(BG-S)=2>1。

所以高斯－赛德尔迭代法发散。

(3)取迭代初值，用雅可比迭代法迭代得

k

x(k)1

x(k)2

x(k)3

0

0

0

0

1

－12

0

10

2

－32

－2

－14

3

12

－46

－58

4

12

－46

－58

因为

所以方程组的解为。

用高斯－赛德尔迭代法迭代得

k

x(k)1

x(k)2

x(k)3

0

0

0

0

1

－12

－12

－38

2

40

2

94

3

－196

－102

－586

4

956

370

1336

因为高斯－赛德尔迭代法发散，不能求出满足要求的解。

12、给定方程组。

(1)写出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式。

解：(1)方程组变形为

所以，Jacobi迭代格式为

Gauss-Seidel迭代格式为

证明：用定理5证明：

，

令

，

则，

所以，

所以雅可比迭代法发散。

或：

记

因为

所以方程在区间(－2，－1)有一个根，则

ρ(BJ)>1

所以雅可比迭代法发散。

而

所以ρ(BG-S)=<1,

所以高斯－赛德尔迭代法收敛。

(3)取迭代初值，用高斯－赛德尔迭代法迭代得

k

x(k)1

x(k)2

x(k)3

0

0

0

0

1

0

3

0.5

2

-1.75

4.25

-0.75

3

-1.75

5.5

-1.375

4

-2.063

6.438

-1.688

5

-2.375

7.063

-1.844

6

-2.610

7.454

-1.922

7

-2.766

7.688

-1.961

8

-2.864

7.825

-1.981

9

-2.958

7.939

-1.991

10

-2.974

7.965

-2.000

11

-2.983

7.983

-2.000

12

-2.992

7.992

-2.000

13

-2.996

7.996

-2.000

14

-2.998

7.998

-2.000

15

-2.999

7.999

-2.000

16

-3.000

8.000

-2.000

17

-3.000

8.000

-2.000

因为

所以方程组的解为。

13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收敛性。

解：因为

系数矩阵是对称正定矩阵，而且严格对角占优，因此两种迭代法都是收敛的。

14、方程组Ax=b，其中

利用迭代收敛的充分必要条件确定雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法均收敛的a的取值范围。

解：对雅可比迭代法来说，因为

，

所以BJ的特征值为

。

所以，迭代矩阵B的谱半径为

，

当时，雅可比迭代法收敛。

对高斯－赛德尔迭代法，因为

所以高斯－赛德尔迭代矩阵特征值为

其谱半径为

，

当时，高斯－赛德尔迭代法收敛。

所以，雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法都收敛的a的范围是。

15、设方程组，分别用Gauss-Seidel迭代法和ω＝1.25的SOR法求解此方程组，准确到4位有效数字(取)。

解：本方程组的Gauss-Seidel迭代格式为

取迭代得

用SOR方法解方程组迭代格式为

取ω＝1.25，迭代得

。

。

17、设，计算A的条件数。

解：因为

所以

则

所以。

由

得

所以；

得

所以；

所以。

18、设A是n阶非奇异方阵，B是n阶奇异方阵，试证明

。

分析：

要证明，，

因为，

即证：，

因为范数总是不小于0的，

也即证：，

也即证：，

由相容性，只需要证明。

而要证明，

根据定义，

只需要证明对于某个特殊的，

，

因为B是奇异矩阵，所以满足：

，

利用这个条件，可以完成证明。

证明：

因为B是奇异矩阵，所以满足：

，

所以

故

。

又因为

所以

，

因为范数总是不小于0的，所以

所以

，

而

所以

。

19、举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。

解：考虑矩阵

，

显然A非奇异。若A有LU分解，则有

于是，

而，矛盾。

故并非所有的非奇异矩阵都能LU分解。

指出：

举例，从简单的例子开始。

所以可逆。

补充题(一)

1、设有矩阵

，

作矩阵的LU分解。

解：由矩阵的LU分解公式

可得

所以

指出：a1j=u1j(j=1,2,3,…,n)，，可以直接套用。

2、考虑三对角矩阵

。

给出三对角矩阵A的LU分解算法，并给出求解以A为系数矩阵的线性方程组的算法。

解：对于三对角矩阵A，也可以用LU分解方法，把它分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积。即

A=LU。

但因为三对角矩阵的特殊性，我们容易验证，分解出的两个矩阵具有这样的形式：

。

即

由矩阵乘法规则，我们有

，

这样可以求出矩阵L和U的所有元素。

设有系数矩阵为A的方程组：

，

这样的方程组称为三对角方程组。

三对角方程组经LU分解分解为

，

求解之

，

用这组公式解三对角线性方程组称为追赶法，其中“追”和“赶”是指下标由小到大和由大到小的形象比喻。

用追赶法解线性方程组的计算量最大约为5n次，比高斯消元法的次少得多。

3. 用高斯消元法求解线性方程组：

。

解：

，消去第二、三个方程的，得：

再由消去此方程组的第三个方程的，得到三角方程组：

回代，得：

，，

4. 用高斯列选主元素消元法解线性方程组

解：

先选第一列主元为，将第一行与第二行交换，消去得：

再选第二列主元为，交换第二行与第三行，消去得三角形方程组：

回代求得方程组的解，，

5. 用高斯全选主元素消元法解线性方程组

解：

选全主元为，交换第一个方程与第二个方程，消去，得：

再在此方程组的后两个方程中选主元，交换第二与第三个方程，消去得三角形方程组：

回代得方程组的解，，

即原方程组的解为：

6．用LU分解法解线性方程组

。

解：设

由矩阵乘法(或LU公式)，分解得

解下三角方程组

，

得

。

再解上三角方程组

得

。

指出：LU分解的手算求解实际上不需要记忆公式。

题1：

解：对矩阵

，

设

先计算U的第一行，由矩阵乘法，有

再计算L的第一列，由矩阵乘法，有

然后计算U的第2行

所以

补充题(二)

1、考虑矩阵

，

试求A的乔累斯基分解。

解：矩阵A是对称正定矩阵，可以进行乔累斯基分解。

设

由矩阵乘法，得

所以

补充题(三)

1、计算向量

的各种范数。

解：

，

，

。

2、给定矩阵

，

求。

解：

因为

，

所以

；

因为

，

所以

；

因为

，

所以的特征多项式为：

，

解得

。

所以

。

补充题(四)

1、用雅可比迭代法求解线性方程组

(取初值为，计算结果取1位小数，迭代4次)。

解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得

，

据此建立迭代格式得

，

取迭代初值进行迭代得

k

x(k)1

x(k)2

x(k)3

0

0

0

0

1

1

3

5

2

5

－3

－3

3

1

1

1

4

1

1

1

所以方程组的解为

。

指出：本题得出的实际上是方程组的精确解。

2、用高斯－赛德尔迭代法求解线性方程组

(取初值为，计算结果取4位小数，迭代4次)。

解：从三个方程中分离出未知变量，将方程组改写成便于迭代的形式得

，

据此建立迭代格式得

，

取迭代初值进行迭代得

k

x(k)1

x(k)2

x(k)3

0

0

0

0

1

0．777 8

0．972 2

0．975 3

2

0．994 2

0．999 3

0．999 4

3

0．999 9

0．999 9

0．999 9

4

1．000 0

1．000 0

1．000 0

所以方程组的解为

。

补充题(五)

1、矩阵

证明：求解以A1为系数矩阵的线性方程组的雅可比迭代是收

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