文章目录

一传输线
- 1.1 传输线上某时刻的电压分布
- 1.2 传输线模型建立
- 1.3 传输线电报方程推导
- 1.4 等效公式
- 1.5 图解等效

电路理论与传输线理论之间的关键差别是电尺寸。电路分析假定网络的物理尺度比电波小得多，而传输线的尺度则可能为一个波长的几分之一或几个波长，对于几分之一我们一般认为大于十分之一就需要认为是传输线。因此，传输线是分布参数网络，在整个长度内其电压和电流的幅值和相位都可能发生变化。这里的长度指的是相对长度，即相对于接收/发射信号的波长。几十KHz的广播信号塔的天线很长，但是几十KHz的信号波长也很长，它的接收是靠在天线两端感应出来的电压不一致从而传输信息。

一传输线

1.1 传输线上某时刻的电压分布

定义传输线的电长度：传输线的几何长度lll与传输线上信号波长λ\lambdaλ的比值l/λ{l}/\lambdal/λ。

长线：l/λ>0.1l/\lambda \ >0.1l/λ >0.1（有的地方是l/λ>0.05l/\lambda \ >0.05l/λ >0.05）。1/10<x<11/10 \ < x \ <11/10 <x <1是小到没有超出一个数量级，一般小于/大于一个数量级时我们认为小的一项可以忽略。此时传输线的长度与传输信号的波长可以比拟，使用分布参数电路分析，如图1所示，分布参数电路经常在高频/射频等分析用。分布参数：Distributed parameter。传输线上某时刻的电压分布与波长λ有关系，并且不同地方的相位/幅度是不一致的。

图1 长线-分布参数电路信号示意图

短线：l/λ<0.1l/\lambda \ <0.1l/λ <0.1（有的地方是l/λ<0.05l/\lambda \ <0.05l/λ <0.05）。传输线的长度远小于线上电磁波的波长时使用集总参数电路表示，如图2所示。这里和集总元件结合起来，是不是可以理解为集总电路中的元件。集总元件：可以等效为一个点。对于低频信号，如交流电源的频率为50Hz，波长是6×106m6\times {{10}^{6}}m6×106m即6千公里，一般的电源线的距离为几十公里，所以电源线可以看做短线。此时分布参数所引起的效应可忽略不计，所以采用集总参数电路进行研究。这个例子也验证了考虑的是相对尺度而不是绝对尺度，虽然电源线的长度是几十公里，这么长却没有考虑成分布参数电路，因为信号的波长比几十公里还要长，并且是其百倍，所以使用集总参数电路来分析。

图2 短线-集总参数电路信号示意图

通常，元件设计的经验法则为：如果元件的尺寸小于波长的10%，即可将其简化为集总元件。在4G LTE中，可将小于5mm（即频率为6GHz时波长的10%）的元件视为一个电路中的直流集总元件。随着5G技术的发展，任何大于0.76mm（频率为40GHz时）和0.43mm（频率为70GHz时）的元件都应被视作射频元件进行建模（仿真的要求5G也比4G的考虑更加精细化）。因此为了满足性能要求，必须制造比以前尺寸更小、容差要求更严格的元件，同时考虑现在元件的材料是否合适？短线是使用集总参数电路表示，对于长线时，因为线上的电压/电流/变化率是不一样的，所以不能理想为一个点进行分析，此时是用分布参数电路进行考虑的。

表1 4G/5G的频率波长换算

标准	频率/GHz	空气中的波长/mm
4G LTE	6	50
5G	40	7.6
5G	70	4.3

1.2 传输线模型建立

有限长度的传输线可以看成若干个图3所示的线段的级联，电导相当于并联的电阻，只要是电阻就是损耗元件，所以R和G代表损耗，当R=0，G=0时，是无损传输线，其中电容C和电感L是无损耗元件。

表2 传输线模型中等效元件

等效元件	来源
串联电阻RΔzR \Delta zRΔz	来源于两导体的有限电导率产生的电阻	有损元件	R表示两导体单位长度的串联电阻，单位是Ω/m
串联电感$ L \Delta z$	来源于两导体的总自感	无损元件	L表示两导体单位长度的串联电感，单位是H/m
并联电导GΔzG \Delta zGΔz	来源于两导体间填充材料的介电损耗	有损元件	G表示单位长度的并联电导，单位是S/m
并联电容CΔzC \Delta zCΔz	来源于两导体的紧密贴近	无损元件	C表示单位长度的并联电容，单位是F/m

图3 无穷小长度的等效集总电路

1.3 传输线电报方程推导

对于图所示的集总电路，根据基尔霍夫电压定律KVL和基尔霍夫电流定律KCL得到公式（1）和（2）。

v(z,t)=RΔzi(z,t)+LΔz∂i(z,t)∂t+v(z+Δz,t)(1)v\left( z,t \right)=R\Delta zi\left( z,t \right)+L\Delta z\frac{\partial i\left( z,t \right)}{\partial t}+v\left( z+\Delta z,t \right) \tag{1} v(z,t)=RΔzi(z,t)+LΔz∂t∂i(z,t)+v(z+Δz,t)(1)

i(z,t)=GΔzv(z+Δz,t)+CΔz∂v(z+Δz,t)∂t+i(z+Δz,t)(2)i\left( z,t \right)=G\Delta zv\left( z+\Delta z,t \right)+C\Delta z\frac{\partial v\left( z+\Delta z,t \right)}{\partial t}+i\left( z+\Delta z,t \right) \tag{2} i(z,t)=GΔzv(z+Δz,t)+CΔz∂t∂v(z+Δz,t)+i(z+Δz,t)(2)

将v(z+Δz,t)v\left( z+\Delta z,t \right)v(z+Δz,t)和i(z+Δz,t)i\left( z+\Delta z,t \right)i(z+Δz,t)移动到等式左边，然后两边同时除以Δz\Delta zΔz得到公式（3）和（4）。

−v(z+Δz,t)−v(z,t)Δz=Ri(z,t)+L∂i(z,t)∂t(3)-\frac{v\left( z+\Delta z,t \right)-v\left( z,t \right)}{\Delta z}=Ri\left( z,t \right)+L\frac{\partial i\left( z,t \right)}{\partial t} \tag{3} −Δzv(z+Δz,t)−v(z,t)=Ri(z,t)+L∂t∂i(z,t)(3)

−i(z+Δz,t)−i(z,t)Δz=Gv(z+Δz,t)+C∂v(z+Δz,t)∂t(4)-\frac{i\left( z+\Delta z,t \right)-i\left( z,t \right)}{\Delta z}=Gv\left( z+\Delta z,t \right)+C\frac{\partial v\left( z+\Delta z,t \right)}{\partial t} \tag{4}−Δzi(z+Δz,t)−i(z,t)=Gv(z+Δz,t)+C∂t∂v(z+Δz,t)(4)

取Δz→0\Delta z\to 0Δz→0时的极限，当Δz→0\Delta z\to 0Δz→0时等，公式成立。号左边就是z点电压随时间变化斜率的相反值，也就是偏导的相反值；Δz+z\Delta z +zΔz+z就是Δz\Delta zΔz。

−∂v(z,t)∂z=Ri(z,t)+L∂i(z,t)∂t(5)-\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}=Ri\left( z,t \right)+L\frac{\partial i\left( z,t \right)}{\partial t} \tag{5} −∂z∂v(z,t)=Ri(z,t)+L∂t∂i(z,t)(5)

−∂i(z,t)∂z=Gv(z,t)+C∂v(z,t)∂t(6)-\frac{\partial i\left( z,t \right)}{\partial z}=Gv\left( z,t \right)+C\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial t} \tag{6} −∂z∂i(z,t)=Gv(z,t)+C∂t∂v(z,t)(6)

因为这里已经等效为集总电路了，所以这里分析的时候要从电路的角度分析。
KVL：在分析电压时，我们是分析的两端的电压，与并联电导G、并联电容C支路无关，对于电阻上的电压使用，U=IR即可，而电感上的电压与通过电感的电流的变化率有关系，电压只考虑R和L。
KCL：在分析电流时，已经简化为集总电路，电阻左边的①点和电感右边的②点的电流是一致的，z点电流=G上电流+C上电流+z+Δzz+\Delta zz+Δz上电流。对于电流，有支路G和C所以只考虑G和C。
为什么乘以Δz\Delta zΔz才是电阻值和电感值呢？是因为这里的R/L/C/G都是单位长度的。
压差=变化率乘以Δz\Delta zΔz，这里一个是分析变化率（微分形式），乘以Δz\Delta zΔz，因为电压是均匀分布的，所以也是等效为积分形式Sz→z+Δz\Delta zΔz。斜率乘以Δz\Delta zΔz相当于y值的等效，关键。
对于电感和电容，因为电感上的电压与电流的变化率有关系（此处的变化率是对t而非对z），同理电容C上的电流与电压的变化率（对时间t的变化率）有关系。电感上电压vL=Ldidt{{v}_{L}}=L\frac{di}{dt}vL=Ldtdi，电容上电流iC=Cdvdt{{i}_{C}}=C\frac{dv}{dt}iC=Cdtdv。

1.4 等效公式

Δz→0\Delta z\to 0Δz→0时，z点和z+Δzz+\Delta zz+Δz点的变化率是一致的，无论是对t的偏导还是对z的偏导，对于电流也是一样的，但是注意此时v(z,t)≠v(z+Δz,t)v\left( z,t \right)\ne v\left( z+\Delta z,t \right)v(z,t)=v(z+Δz,t)、i(z,t)≠i(z+Δz,t)i\left( z,t \right)\ne i\left( z+\Delta z,t \right)i(z,t)=i(z+Δz,t)，因为对于电压有R和L上会有分压，对于电流G和C上会有分流。

当Δz→0\Delta z\to 0Δz→0时，有如下公式是成立的，对于其他的不同情况要注意n阶无穷小。

∂v(z,t)∂z=∂v(z+Δz,t)∂z\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}=\frac{\partial v\left( z+\Delta z,t \right)}{\partial z}∂z∂v(z,t)=∂z∂v(z+Δz,t)，表示在时刻t，z点位置电压关于z求偏导等于z+Δzz+\Delta zz+Δz点位置电压关于z求偏导。
∂v(z,t)∂t=∂v(z+Δz,t)∂t\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial t}=\frac{\partial v\left( z+\Delta z,t \right)}{\partial t}∂t∂v(z,t)=∂t∂v(z+Δz,t)，表示在时刻t，z点位置电压关于t求偏导等于z+Δzz+\Delta zz+Δz点位置电压关于t求偏导。
∂i(z,t)∂z=∂i(z+Δz,t)∂z\frac{\partial i\left( z,t \right)}{\partial z}=\frac{\partial i\left( z+\Delta z,t \right)}{\partial z}∂z∂i(z,t)=∂z∂i(z+Δz,t)，同理于电压。
∂i(z,t)∂t=∂i(z+Δz,t)∂t\frac{\partial i\left( z,t \right)}{\partial t}=\frac{\partial i\left( z+\Delta z,t \right)}{\partial t}∂t∂i(z,t)=∂t∂i(z+Δz,t)，同理于电压。

1.5 图解等效

假设传输线上的电压分布如图4所示，其中绿色的是平均斜率，橙色的是z点的斜率，z+Δzz+\Delta zz+Δz点的斜率这里没有给出。

v(z+Δz,t)−v(z,t)v\left( z+\Delta z,t \right)-v\left( z,t \right)v(z+Δz,t)−v(z,t)是t时刻Δz\Delta zΔz长度线上的电压差。
∂v(z,t)∂z\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}∂z∂v(z,t)是对z求的偏导，相当于是传输线上z位置处电压的变化率，这里注意是求偏导的分子是v(z+Δz,t)−v(z,t)v\left( z+\Delta z,t \right)-v\left( z,t \right)v(z+Δz,t)−v(z,t)而不是v(z+Δz,t)−v(z,t)v\left( z+\Delta z,t \right)-v\left( z,t \right)v(z+Δz,t)−v(z,t)，这也是公式（5）（6）带负号的原因。
v(z+Δz,t)−v(z,t)=∂v(z,t)∂zΔzv\left( z+\Delta z,t \right)-v\left( z,t \right)\text{=}\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}\Delta zv(z+Δz,t)−v(z,t)=∂z∂v(z,t)Δz是从差值的角度考虑，类似于从积分形式角度考虑。∂v(z,t)∂zΔz\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}\Delta z∂z∂v(z,t)Δz就是Δz\Delta zΔz长度线上的电压差，因为Δz\Delta zΔz是无穷小长度可以理想化为Δz\Delta zΔz上的电压（对位置）变化率是一致的，乘以长度就是该长度上的电压差。同理对于电流也是一样的。
v(z+Δz,t)−v(z,t)Δz=∂v(z,t)∂z\frac{v\left( z+\Delta z,t \right)-v\left( z,t \right)}{\Delta z}\text{=}\frac{\partial v\left( z,t \right)}{\partial z}Δzv(z+Δz,t)−v(z,t)=∂z∂v(z,t)是从变化率的角度考虑，类似于从微分形式的角度去分析问题。
这里只是针对电压进行了分析，同理对于电流。

图4 时刻t传输线上电压分布

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