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渐近分析与摄动方法的计算机辅助求解

研究生：陈建威 导师：张瑞明

学科专业：应用数学 研究方向：特殊函数 年级：2007 级

摘要

渐近分析在数学，物理及其它科技分支的研究中的应用十分的广泛，它是处理当系统

中某参数很大或很小时求其近似解一类问题的有力工具。这一学科的重要进展主要来自于

二十世纪对天体力学与流体力学的研究，其中一个最重要的方面就是通常所谓的奇异摄动

理论的产生，它很多时候不仅可用于对问题进行局部分析，而且还可以给出它们的解的全

局行为。

数值计算虽然可以解决很多问题，但由于现实世界中很多科技方面的具体问题都包含

许多自由参数，且这些参数可以在大范围内变动，而数值计算只能处理变量在有限范围内

变化的情况，若用于这类问题就只能得到一点实际意义都没有的结果，因此我们很难看到

这一方法在理论数学，物理与其它学科中的应用，即便是对于应用学科而言，数值的“大”

与“小”的界定完全依赖于人们的经验与直觉，而这些都是不科学的从而是不可靠的。实

际上，数学家与物理学家们经常在他们的理论研究中用到的是渐近分析与摄动理论，而应

用数学家，科学家和工程师们则是把这些方法结合数值计算以及计算机等来解决遇到的问

题。本文的工作是希望向人们介绍因其获取容易，操作简便，以及强大的符号演算，画图

和动画功能而成为当今最流行的三大数学软件之一的 Maple ，以及摆脱了数值计算局限性

的渐近分析与摄动理论方法在计算机上的实现技巧。本文首先简要介绍了几种渐近分析与

摄动理论方法的原理与求解过程，然后证明我们完全可以通过 Maple 完成运用这些方法时

所要进行的大规模运算，从而为如何能在当今计算机时代更快更好地进行数学研究给出自

己的答复。

关键词：渐近分析；奇异摄动理论；Maple

Computer Aided Solutions in Asymptotics

and Perturbation Methods

Graduate student:Chen Jianwei Supervisor:Zhang Ruiming

Major:Applied Mathematics Speciality:Special Functions Grade:2007

Abstract

Asymptotics and perturbation theory are used widely in mathematics, physics, and other

branches of science and technology, it is a very powerful tool for dealing with problems by

obtaining approximate solutions of systems with some parameters very large or small. Major

progresses were made in 21th century in the study of celestial mechanics and fluid mechanics.

One of the most important technique is singular perturbation methods. In most cases not only

does it give local results for the problem but also shows the global behavior of the solution.

Numerical methods have been applied to solved many problems, but its applications are

limited in the real world pr