定理

对于任意一个凸集 SSS ，对于任意一条射线 L={X0+td→:t≥0}," role="presentation">L={X0+td⃗ :t≥0},L={X0+td→:t≥0},L = \{ X_0 + t \vec d : t \ge 0\}, 则 L⊆SL⊆SL \subseteq S 当且仅当 X0∈SX0∈S X_0 \in S 且 S∩LS∩LS \cap L 无界。

证明

必要性

易得。

充分性

∀X∈Rn,∀X∈Rn,\forall X \in \mathbb R ^{n}, 定义： |X|=X⊺X−−−−√|X|=X⊺X \vert X \vert = \sqrt {X ^{\intercal} X}
∀X∈L,∀X∈L,\forall X \in L, ∃t≥0,∃t≥0,\exists t \ge 0, 使得 X=X0+td⃗ ,X=X0+td→, X = X_0 + t \vec d,
由于 S∩LS∩LS \cap L 无界，则 ∃X′∈S∩L,∃X′∈S∩L,\exists X' \in S \cap L, 使得 |X′|>|X0|+t|d⃗ ||X′|>|X0|+t|d→| \vert X' \vert \gt \vert X_0 \vert + t \vert \vec d \vert
于是 ∃t′≥0,∃t′≥0,\exists t' \ge 0, 使得 X′=X0+t′d⃗ ,X′=X0+t′d→, X' = X_0 + t' \vec d,
则 t′>tt′>tt' \gt t ：否则若 t′≤t,t′≤t,t' \le t, 则
|X′|=|X0+t′d⃗ |≤|X0|+t′|d⃗ |≤|X0|+t|d⃗ |,|X′|=|X0+t′d→|≤|X0|+t′|d→|≤|X0|+t|d→|, \vert X' \vert = \vert X_0 + t' \vec d \vert \le \vert X_0 \vert + t' \vert \vec d \vert \le \vert X_0 \vert + t \vert \vec d \vert, 与 |X′|>|X0|+t|d⃗ ||X′|>|X0|+t|d→| \vert X' \vert \gt \vert X_0 \vert + t \vert \vec d \vert矛盾。
于是 X=X0+td⃗ =(1−tt′)X0+tt′(X0+t′d⃗ )X=X0+td→=(1−tt′)X0+tt′(X0+t′d→)X = X_0 + t \vec d = \left (1 - \dfrac {t} {t'}\right )X_0 + \dfrac {t} {t'} \left (X_0 + t' \vec d\right )
由于 SSS 是凸集，因此 X∈S" role="presentation">X∈SX∈SX \in S
因此 L⊆SL⊆SL \subseteq S

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