多项式的度

定义

非零多项式 f(x)=∑ni=0aixif \left (x \right ) = \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i （其中首项 an≠0 a_n \neq 0 ）的度 deg(f(x))=n \deg \left (f \left (x \right ) \right ) = n

性质

f(x)≠0,g(x)≠0⇒deg(f(x)g(x))=deg(f(x))+deg(g(x))f \left (x \right ) \neq 0, g \left (x \right ) \neq 0 \Rightarrow \deg \left (f \left (x \right ) g \left (x \right ) \right ) = \deg \left (f \left (x \right ) \right ) + \deg \left (g \left (x \right ) \right )
f(x)≠0,g(x)≠0,f(x)+g(x)≠0⇒deg(f(x)+g(x))≤max{deg(f(x)),deg(g(x))}f \left (x \right ) \neq 0, g \left (x \right ) \neq 0, f \left (x \right ) + g \left (x \right ) \neq 0 \Rightarrow \deg \left (f \left (x \right ) + g \left (x \right ) \right ) \le \max \{ \deg \left (f \left (x \right ) \right ), \deg \left (g \left (x \right ) \right )\}
deg(f(x))=0⇔f(x)\deg \left (f \left (x \right ) \right ) = 0 \Leftrightarrow f\left (x \right ) 是非零常数。

多项式运算的性质

f(x)+g(x)=g(x)+f(x)f \left (x \right ) + g \left (x \right ) = g \left (x \right ) + f \left (x \right )
[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)] \left [ f \left (x \right ) + g \left (x \right ) \right ] + h \left (x \right ) = f \left (x \right ) + \left [ g \left (x \right ) + h \left (x \right ) \right ]
f(x)g(x)=g(x)f(x)f \left (x \right ) g \left (x \right ) = g \left (x \right ) f \left (x \right )
[f(x)g(x)]h(x)=f(x)[g(x)h(x)] \left [ f \left (x \right ) g \left (x \right ) \right ] h \left (x \right ) = f \left (x \right ) \left [ g \left (x \right ) h \left (x \right ) \right ]
f(x)[g(x)+h(x)]=f(x)g(x)+f(x)h(x) f \left (x \right ) \left [ g \left (x \right ) + h \left (x \right ) \right ] = f \left (x \right ) g \left (x \right ) + f \left (x \right ) h \left (x \right )
f(x)≠0,f(x)g(x)=f(x)h(x)⇒g(x)=h(x)f \left (x \right ) \neq 0, f \left (x \right )g \left (x \right ) = f \left (x \right )h \left (x \right ) \Rightarrow g \left (x \right ) = h \left (x \right )
证明：
f(x)g(x)=f(x)h(x)⇒f(x)[g(x)−h(x)]=0f \left (x \right )g \left (x \right ) = f \left (x \right )h \left (x \right ) \Rightarrow f \left (x \right ) \left [g \left (x \right ) - h \left (x \right ) \right ] = 0
由于 f(x)≠0,f \left (x \right ) \neq 0, 因此若 g(x)≠h(x)g \left (x \right ) \neq h \left (x \right ) 则 g(x)−h(x)≠0, g \left (x \right ) - h \left (x \right ) \neq 0,
于是 f(x)[g(x)−h(x)]≠0, f \left (x \right ) \left [g \left (x \right ) - h \left (x \right ) \right ] \neq 0, 与 f(x)[g(x)−h(x)]=0 f \left (x \right ) \left [g \left (x \right ) - h \left (x \right ) \right ] = 0 矛盾。

带余除法

设多项式 g(x)≠0,g \left (x \right ) \neq 0, 则对于任意一个多项式 f(x),f \left (x \right ), 存在多项式 q(x),r(x),q \left (x \right ) ,r \left (x \right ),
使得 f(x)=q(x)g(x)+r(x),f \left (x \right ) = q \left (x \right ) g \left (x \right ) + r \left (x \right ),
其中 r(x)=0r \left (x \right ) = 0 或 deg(r(x))<deg(g(x))\deg \left (r \left (x \right ) \right ) 。
且 q(x),r(x)q \left (x \right ) ,r \left (x \right ) 是唯一的。

证明

存在性

若 f(x)=0,f \left (x \right ) = 0 , 则 f(x)=0=0g(x)+0f \left (x \right ) = 0 = 0 g \left (x \right ) + 0 。命题成立。
下面只考虑 f(x)≠0f \left (x \right ) \neq 0 的情况。
假设对于任意一个多项式 f(x),f \left (x \right ), deg(f(x))<n\deg \left (f \left (x \right ) \right ) \lt n 时命题成立。
则 deg(f(x))=n\deg \left (f \left (x \right ) \right ) = n 时，令 m=deg(g(x))m = \deg \left (g \left (x \right ) \right ) ：
1. 若 n<m,n \lt m, 则 f(x)=0g(x)+f(x)f \left (x \right ) = 0 g \left (x \right ) + f \left (x \right ) 。命题成立。
2. 若 n≥m,n \ge m, 设 f(x)=∑ni=0aixi,g(x)=∑mi=0bixi,f \left (x \right ) = \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i, g \left (x \right ) = \sum _{i = 0} ^ {m} b_i x^i, 则
f(x)−anb−1mxn−mg(x)f \left (x \right ) - a_{n} b_{m} ^{-1} x ^{n - m} g \left (x \right )
=∑ni=0aixi−anb−1mxn−m∑mi=0bixi= \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i - a_{n} b_{m} ^{-1} x ^{n - m} \sum _{i = 0} ^ {m} b_i x^i
=∑ni=0aixi−anb−1m∑mi=0bixi+n−m= \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i - a_{n} b_{m} ^{-1} \sum _{i = 0} ^ {m} b_i x^{i + n - m}
=∑ni=0aixi−anb−1m∑ni=n−mbi−(n−m)xi= \sum _{i = 0} ^ {n} a_i x^i - a_{n} b_{m} ^{-1} \sum _{i = n - m} ^ {n} b_{i - \left (n - m \right )} x^{i }
=∑n−1i=0aixi−anb−1m∑n−1i=n−mbi−(n−m)xi= \sum _{i = 0} ^ {n - 1} a_i x^i - a_{n} b_{m} ^{-1} \sum _{i = n - m} ^ {n - 1} b_{i - \left (n - m \right )} x^{i }
=∑n−1i=0(ai−ci)xi,= \sum _{i = 0} ^ {n - 1} \left (a_i - c_i \right ) x^i ,
其中 ci={anb−1mbi−(n−m),0,n−m≤i≤n−1,0≤i<n−m,c_i = \begin{cases} a_{n} b_{m} ^{-1} b_{i - \left (n - m \right )}, & n - m \le i \le n - 1, \\ 0, & 0 \le i \lt n - m, \end{cases}
因此 f(x)−anb−1mxn−mg(x)=0f \left (x \right ) - a_{n} b_{m} ^{-1} x ^{n - m} g \left (x \right ) = 0 或 deg(f(x)−anb−1mxn−mg(x))<n,\deg \left (f \left (x \right ) - a_{n} b_{m} ^{-1} x ^{n - m} g \left (x \right ) \right ) \lt n,
于是存在多项式 q(x),r(x),q \left (x \right ) ,r \left (x \right ), 使得
f(x)−anb−1mxn−mg(x)=q(x)g(x)+r(x),f \left (x \right ) - a_{n} b_{m} ^{-1} x ^{n - m} g \left (x \right ) = q \left (x \right ) g \left (x \right ) + r \left (x \right ),
其中 r(x)=0r \left (x \right ) = 0 或 deg(r(x))<deg(g(x))\deg \left (r \left (x \right ) \right ) 。
因此 f(x)=[anb−1mxn−m+q(x)]g(x)+r(x)f \left (x \right ) = \left [a_{n} b_{m} ^{-1} x ^{n - m} + q \left (x \right ) \right ] g \left (x \right ) + r \left (x \right ) 。命题成立。

唯一性

设存在多项式 q′(x),r′(x)q' \left (x \right ) ,r' \left (x \right ) 同样满足条件，则
f(x)=q(x)g(x)+r(x)=q′(x)g(x)+r′(x)⇒[q(x)−q′(x)]g(x)=r′(x)−r(x)f \left (x \right ) = q \left (x \right ) g \left (x \right ) + r \left (x \right ) = q' \left (x \right ) g \left (x \right ) + r' \left (x \right ) \Rightarrow \left [q \left (x \right ) - q' \left (x \right ) \right ] g \left (x \right ) = r' \left (x \right ) - r \left (x \right )
若 q(x)≠q′(x),q \left (x \right ) \neq q' \left (x \right ), 则 [q(x)−q′(x)]g(x)≠0 \left [q \left (x \right ) - q' \left (x \right ) \right ] g \left (x \right ) \neq 0 且 deg([q(x)−q′(x)]g(x))=deg(q(x)−q′(x))+deg(g(x))≥deg(g(x)),\deg \left ( \left [q \left (x \right ) - q' \left (x \right ) \right ] g \left (x \right ) \right ) = \deg \left ( q \left (x \right ) - q' \left (x \right ) \right ) + \deg \left ( g \left (x \right ) \right ) \ge \deg \left ( g \left (x \right ) \right ),
于是 r′(x)−r(x)≠0r' \left (x \right ) - r \left (x \right ) \neq 0 且 deg(r′(x)−r(x))=deg([q(x)−q′(x)]g(x))≥deg(g(x))\deg \left ( r' \left (x \right ) - r \left (x \right ) \right ) = \deg \left ( \left [q \left (x \right ) - q' \left (x \right ) \right ] g \left (x \right ) \right ) \ge \deg \left ( g \left (x \right ) \right ) 。
但是 r(x)=0r \left (x \right ) = 0 或 deg(r(x))<deg(g(x)),\deg \left (r \left (x \right ) \right )
r′(x)=0r' \left (x \right ) = 0 或 deg(r′(x))<deg(g(x)),\deg \left (r' \left (x \right ) \right )
因此 deg(r′(x)−r(x))<deg(g(x)),\deg \left ( r' \left (x \right ) - r \left (x \right ) \right ) \lt \deg \left (g \left (x \right ) \right ), 与 deg(r′(x)−r(x))≥deg(g(x))\deg \left ( r' \left (x \right ) - r \left (x \right ) \right ) \ge \deg \left (g \left (x \right ) \right ) 矛盾。
因此 q(x)=q′(x),q \left (x \right ) = q' \left (x \right ), 于是 r(x)=r′(x)r(x) = r'(x) 。

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