【带权并查集详解】以HDU 3038为例【How Many Answers Are Wrong】

前言

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带权并查集详解：

首先讨论一下带权并查集的主要功能。并查集主要是维护不同元素之间传递关系的数据结构，如果不带权，那么维护的就是不同元素是否属于同一个集合，即连通关系。如果带权，那么除了维护连通性之外，还会维护同一个集合中各个元素之间的关系。

对于带权并查集的具体实现，最重要的维护元素是 d[x]d[x]d[x]，表示元素 xxx 到根节点 rootrootroot 的偏移量，即 d[x]=x→rootd[x] = x \rightarrow rootd[x]=x→root，而这个偏移量是由我们自己定义的，取决于具体题意。

接下来我们通过一道例题，HDU3038HDU\ 3038HDU 3038 来仔细讲解这个数据结构。

题意：

一个长度为 nnn 个序列，一共 mmm 个询问。每次询问给出 l,r,suml,r,suml,r,sum，表示这个序列中区间 [l,r][l,r][l,r] 的 sumsumsum 和。问一共有几组询问与前面为真的询问不符，如果该组询问不符合事实，忽略这组询问。

思路：

很明显，这题主要维护序列上每个节点之间的连通关系，以及节点之间的偏移量。我们定义 d[x]=x→root=sum[root]−sum[x]d[x] = x\rightarrow root = sum[root]-sum[x]d[x]=x→root=sum[root]−sum[x]，即区间 [x+1,root][x+1, root][x+1,root] 的和。这里有一个需要注意的地方，我们不能令 d[x]=x→root=[x,root]d[x] = x\rightarrow root = [x, root]d[x]=x→root=[x,root] 区间和，因为 d[x]d[x]d[x] 初始化时为 000，而如果是 [x,root][x,root][x,root] 的区间和，那么初始化时 d[x]=a[x]=[x,x]d[x] = a[x] = [x,x]d[x]=a[x]=[x,x] 区间和，而不是000，因此会发生错误。所以我们维护的是 d[x]=x→root=sum[root]−sum[x]d[x] = x\rightarrow root = sum[root]-sum[x]d[x]=x→root=sum[root]−sum[x]。

然后我们再来考虑并查集的路径压缩操作。并查集的本质是一颗森林，带权并查集增加的操作就是增加了边权。

现在我们来考虑下面的这个图，执行 find(B)find(B)find(B) 的过程，fa[B]=find(fa[B])fa[B] = find(fa[B])fa[B]=find(fa[B])，就可以将 BBB 连向 rootrootroot，但是我们需要更新 d[B]d[B]d[B]，d[B]=B→root=B→A+A→rootd[B] = B\rightarrow root=B\rightarrow A\ +\ A\rightarrow rootd[B]=B→root=B→A + A→root，而在路径压缩之前，d[B]=B→Ad[B] = B\rightarrow Ad[B]=B→A。因此路径压缩时，d[B]=d[B]+d[A]d[B] = d[B]+d[A]d[B]=d[B]+d[A]，也可以理解为边权相加。

int find(int x){if(fa[x]==x) return x;int root = find(fa[x]);d[x] += d[fa[x]], fa[x] = root;return fa[x];
}

现在我们开始做这道题目。首先初始化，fa[i]=i,d[i]=0fa[i] = i, \ d[i] = 0fa[i]=i, d[i]=0，然后对于每个 [a,b]=sum，sum[b]−sum[a−1]=sum[a,b] = sum，sum[b]-sum[a-1] = sum[a,b]=sum，sum[b]−sum[a−1]=sum，我们先判断 a−1a-1a−1 与 bbb 是否在同一个集合内。

①①① 如果不在同一个集合内，则说明 a−1a-1a−1 与 bbb 没有偏移关系，因此我们需要将这两个集合进行合并，存入他们的偏移关系，令fa=find(a−1)，fb=find(b)fa = find(a-1)，fb = find(b)fa=find(a−1)，fb=find(b)。(a−1)→b=(a−1)→fa+fa→fb+fb→b=sum=d[a−1]+d[fa]−d[b](a-1)\rightarrow b = (a-1)\rightarrow fa\ +\ fa\rightarrow fb \ + \ fb\rightarrow b = sum = d[a-1]+d[fa]-d[b](a−1)→b=(a−1)→fa + fa→fb + fb→b=sum=d[a−1]+d[fa]−d[b]，而此处的 d[fa]d[fa]d[fa] 就是合并之后，fafafa 对于 fbfbfb 的偏移量。

②②② 如果在同一个集合中，则判断 (a−1)→b=(a−1)→root+root→b=d[a−1]−d[b](a-1)\rightarrow b = (a-1)\rightarrow root\ + \ root \rightarrow b=d[a-1]-d[b](a−1)→b=(a−1)→root + root→b=d[a−1]−d[b] 是否等于 sumsumsum，如果不等于，则为假。

到此，这题就可以解决了。最后回顾一下带权并查集，带权并查集的核心就是维护多个元素之间的连通以及偏移关系，甚至可以维护多个偏移关系，而偏移的东西可以理解为当前节点到根节点的边长之和。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define LOG1(x1,x2) cout << x1 << ": " << x2 << endl;
#define LOG2(x1,x2,y1,y2) cout << x1 << ": " << x2 << " , " << y1 << ": " << y2 << endl;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;
const int N = 2*1e5+1000;int fa[N],d[N],n,m;int find(int x){if(fa[x]==x) return x;int root = find(fa[x]);d[x] += d[fa[x]], fa[x] = root;return fa[x];
}int main()
{while(~scanf("%d%d",&n,&m)){rep(i,0,n) fa[i] = i, d[i] = 0;int ct = 0;rep(i,1,m){int a,b,c; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); a--;int f1 = find(a), f2 = find(b);if(f1 == f2){if(d[a]-d[b] != c) ct++;}else{fa[f1] = f2, d[f1] = c+d[b]-d[a];}}printf("%d\n",ct);}return 0;
}

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