多元函数的极值及其求法

高数第九章第八节多元函数的极值及其求法

重点：判断极值，求极值（代入法、拉格朗日乘数法）

一、极值定义

二、求极值
一般利用偏导来求极值，定理如下：

即：函数在点（x。，y。）处有偏导且有极值则该点处偏导为0

求法一，解方程组代入点求解极值：

极值点一定是驻点，驻点不一定是极值点

例题如下：

求法二，拉格朗日乘数法求条件极值

1、条件极值与无条件极值：除限制在函数定义域内以外没有其他条件的是无条件极值，对自变量有附加条件的为有条件极值
2、拉格朗日乘数法：
若求函数f（x，y）极值的限制条件为Φ（x，y）=0，则令：
F（x，y）=f（x，y）+λ（Φ（x，y）），（其中F（x，y）称为拉格朗日函数，λ称为拉格朗日乘子）
令Fx（x，y）=0；Fy（x，y）=0；Fλ（x，y）=0；求解此方程组，所得点即为其可能极值点

例题如下：

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