问题描述：

给定两个大小为 m 和 n 的正序(从小到大)数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。要求设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]

输出：2.00000

解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]

输出：2.50000

解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

示例 3：

输入：nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]

输出：0.00000

示例 4：

输入：nums1 = [], nums2 = [1]

输出：1.00000

示例 5：

输入：nums1 = [2], nums2 = []

输出：2.00000

提示：

nums1.length == m

nums2.length == n

0 <= m <= 1000

0 <= n <= 1000

1 <= m + n <= 2000

-106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

解题思路：

根据中位数的定义，当 m+n 是奇数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素，当 m+n 是偶数时，中位数是两个有序数组中的第 (m+n)/2个元素和第 (m+n)/2+1 个元素的平均值。因此，这道题可以转化成寻找两个有序数组中的第 k 小的数，其中 k 为 (m+n)/2 或 (m+n)/2+1。假设两个有序数组分别是A 和B。要找到第 k 个元素，我们可以比较A[k/2−1] 和 B[k/2−1]，其中 / 表示整数除法。由于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 的前面分别有 A[0..k/2−2] 和 B[0..k/2−2]，即 k/2−1 个元素，对于 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 中的较小值，最多只会有(k/2−1)+(k/2−1)≤k−2 个元素比它小，那么它就不能是第 kk 小的数了。

因此我们可以归纳出三种情况：

• 如果 A[k/2−1]

• 如果 A[k/2−1]>B[k/2−1]，则可以排除 B[0] 到 B[k/2−1]。

• 如果 A[k/2−1]=B[k/2−1]，则可以归入第一种情况处理。

可以看到，比较 A[k/2−1] 和 B[k/2−1] 之后，可以排除 k/2 个不可能是第 k 小的数，查找范围缩小了一半。同时，我们将在排除后的新数组上继续进行二分查找，并且根据我们排除数的个数，减少 k 的值，这是因为我们排除的数都不大于第 k 小的数。

有以下三种情况需要特殊处理：

• 如果 A[k/2−1] 或者 B[k/2−1] 越界，那么我们可以选取对应数组中的最后一个元素。在这种情况下，我们必须根据排除数的个数减少 k 的值，而不能直接将 k 减去 k/2。

• 如果一个数组为空，说明该数组中的所有元素都被排除，我们可以直接返回另一个数组中第 k 小的元素。

• 如果 k=1，我们只要返回两个数组首元素的最小值即可。

用一个例子说明上述算法。假设两个有序数组如下：

A:1349B:123456789

两个有序数组的长度分别是 4 和 9，长度之和是 13，中位数是两个有序数组中的第 7 个元素，因此需要找到第 k=7 个元素。

比较两个有序数组中下标为 k/2−1=2 的数，即 A[2] 和 B[2]，如下面所示：

A: 1 3 4 9    ↑

B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9    ↑

由于 A[2]>B[2]，因此排除 B[0] 到 B[2]，即数组B 的下标偏移(offset)变为 3，同时更新 k 的值：k=k−k/2=4。

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=1 的数，即 A[1] 和 B[4]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: 1 3 4 9   ↑

B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9        ↑

由于 A[1]

下一步寻找，比较两个有序数组中下标为 k/2−1=0 的数，即比较 A[2] 和 B[3]，如下面所示，其中方括号部分表示已经被排除的数。

A: [1 3] 4 9      ↑

B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9       ↑

由于 A[2]=B[3]，根据之前的规则，排除 A 中的元素，因此排除 A[2]，即数组 A 的下标偏移变为 3，同时更新 k 的值：k=k−k/2=1。

由于 k 的值变成 1，因此比较两个有序数组中的未排除下标范围内的第一个数，其中较小的数即为第 k 个数，由于 A[3]>B[3]，因此第 k 个数是 B[3]=4。

A: [1 3 4] 9       ↑

B: [1 2 3] 4 5 6 7 8 9       ↑

算法代码：

class Solution {

public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {

int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;

int totalLength = length1 + length2;

if(totalLength % 2 == 1){

int midIndex = totalLength / 2;

double median = getKthElement(nums1,nums2,midIndex+1);

return median;

}else{

int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;

double median = (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 +1)) / 2.0;

return median;

}

}

public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {

/* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较

* 这里的 "/" 表示整除

* nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个

* nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个

* 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个

* 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素

* 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组

* 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组

* 由于我们 "删除" 了一些元素(这些元素都比第 k 小的元素要小)，因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数

*/

int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;

int index1 = 0, index2 = 0;

int kthElement = 0;

while (true) {

// 边界情况

if (index1 == length1) {

return nums2[index2 + k - 1];

}

if (index2 == length2) {

return nums1[index1 + k - 1];

}

if (k == 1) {

return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);

}

// 正常情况

int half = k / 2;

int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;

int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;

int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];

if (pivot1 <= pivot2) {

k -= (newIndex1 - index1 + 1);

index1 = newIndex1 + 1;

} else {

k -= (newIndex2 - index2 + 1);

index2 = newIndex2 + 1;

}

}

}

}