二维凸包 Graham's Scan

凸包是啥？？

凸包就是：

给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。

外层的红线　就是凸包

一般题目会让你求利用最外层凸包的一些性质如下面这道题

来看一道模板题：ＨＤＵ　－　１３４８

本题题目就是要求尽可能少的围墙周长围墙内的城堡是多边形的而围墙还要和城堡相隔l距离

可证实质周长其实就是城堡的凸包周长 + 以l为半径的周长之和

由于多边形城堡尽可能少的包围他其实就是凸包周长而在凸包的拐角处要相隔l距离所以变成了一个圆弧

把圆弧加起来就是圆的周长

n边形的内角和公式：（n-2）*180

n变形外角永远是360度

所以可以列式 n×360 - (n-2)×180 -９０×n×２ = 360° （n个角减去内角在减去多余的90° 画个图就能得到）

所以多出来的那些空间可知就是一个360°的整圆

关于这个方法就是先取左下点为基准点

然后对其他点按照从基准点的x轴逆时针方向射出的极角扫过的顺序排序

然后再对其中的每前后三个点进行叉乘操作

如果我们以逆时针方向遍历所有点

ｎ，ｍ，ｌ三个点　

ｎ为起点　向ｍ和ｌ点做两个向量分别是向量ａ，向量ｂ

向量a*b<0 说明 a在 b的逆时针方向　即是说　ｍ点在ｌ点里面，左边　若选凸包我们舍弃a的终点ｍ而选取b的终点

若叉乘结果>0说明ａ在ｂ的顺时针方向　也就是　ｍ在ｌ的外边　右边

最终将保存下来的点　按顺序遍历求两点之间的线段长度就可以了

code

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1010;
const double pi = acos(-1.0);// 得到PI
struct node
{double x,y;
}p[1010],P[1010];//P内存储凸包内的店
int t,tot,N;
double L;
double X(node a,node b,node c)
{return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}// 计算叉积
double len(node a,node b)
{return sqrt((b.x-a.x)*(b.x-a.x)+(b.y-a.y)*(b.y-a.y));
}//两点之间距离公式
bool cmp(node b,node c)
{double pp = X(p[1],b,c);if(pp<0)return 0;else if(pp>0)return 1;else if(pp==0&&len(p[1],b)<len(p[1],c))return 1;else return 0;
}//扫描排序
int main()
{scanf("%d",&t);for(int cas = 1;cas<=t;cas++){if(cas!=1)puts("");scanf("%d%lf",&N,&L);for(int i=1;i<=N;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);double ans = pi*2.0*L;for(int i=2;i<=N;i++){if(p[1].y>p[i].y)swap(p[1],p[i]);else if(p[1].y==p[i].y&&p[1].x>p[i].x)swap(p[1],p[i]);}//找基准点sort(p+2,p+1+N,cmp);P[1]=p[1];P[2]=p[2];tot=2;for(int i=3;i<=N;i++){while(tot>1&&X(P[tot-1],P[tot],p[i])<=0)tot--;tot++;P[tot] = p[i];}//筛选点for(int i=1;i<tot;i++){ans+=len(P[i],P[i+1]);}//围圈求和ans+=len(P[1],P[tot]);printf("%.0lf\n",ans);}return 0;
}

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