动态规划

动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

https://blog.csdn.net/hebtu666/article/category/8018091基础总结

状态压缩

我们在进行动态规划时，有时状态相当复杂，看上去需要很多空间，比如一个数组才能表示一个状态，那么就需要对状态进行某种编码，进行压缩表示。

比如：状态和某个集合有关，集合里可以有一些元素，没有另一些元素，那么就可以用一个整数表示该集合，每个元素对应于一个bit，有该元素，则该bit就是1。

这个皇后问题就可以帮助理解https://blog.csdn.net/hebtu666/article/details/84631083

旅行商问题

旅行商问题(TravelingSalesmanProblem，TSP)是一个经典的组合优化问题。经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。从图论的角度来看，该问题实质是在一个带权完全无向图中，找一个权值最小的Hamilton回路。由于该问题的可行解是所有顶点的全排列，随着顶点数的增加，会产生组合爆炸，它是一个NP完全问题。由于其在交通运输、电路板线路设计以及物流配送等领域内有着广泛的应用，国内外学者对其进行了大量的研究。早期的研究者使用精确算法求解该问题，常用的方法包括：分枝定界法、线性规划法、动态规划法等。但是，随着问题规模的增大，精确算法将变得无能为力，因此，在后来的研究中，国内外学者重点使用近似算法或启发式算法，主要有遗传算法、模拟退火法、蚁群算法、禁忌搜索算法、贪婪算法和神经网络等。

如图，我们如何从0点出发，以最小代价走过所有的点？

分析

抛开这个图，我们试想：我们可能从0点一次性走到哪些点呢？

只可能1点、2点、3点、4点（废话）

那我们如果知道了

1）从1点开始走，经过所有的点，最后走到了0点的最小距离；a

2）从2点开始走，经过所有的点，最后走到了0点的最小距离；b

3）从3点开始走，经过所有的点，最后走到了0点的最小距离；c

4）从4点开始走，经过所有的点，最后走到了0点的最小距离；d

请再次注意：

我们可能从0点一次性走到哪些点呢？

只可能1点、2点、3点、4点（废话）

所以我们可以从0点走到1点，再从1点经过最小距离走到0点。

2点、3点、4点同理。

那么我们取min(a+3,b+MAX,c+4,d+MAX)即可。

3为0点走到1点的距离，4为0点走到3点的距离。

MAX代表此路不通。。

那我们继续思考，abcd怎么求呢？其实同样的：

比如：求a

从1点开始走，经过所有的点，最后走到了0点的最小距离；a

同样的思考：我们可能从1点一次性走到哪些点呢？

答：可以走到0点、2点、3点、4点。

注意：由于问题要求为：只能经过每一个顶点一次，所以我们要去掉0点，因为我们经过0点，最后再到0点就会重复，所以，

“经过所有的点”是不准确的，是除0点的所有的点。

所以只有三个点可能从1点走过去，我们需要求：

1）从2点开始走，经过除0点所有的点，最后走到了0点的最小距离x

2）从3点开始走，经过除0点所有的点，最后走到了0点的最小距离y

3）从4点开始走，经过除0点所有的点，最后走到了0点的最小距离z

然后取min(x+到2点的距离，y+到3点的距离，z+到4点的距离)

归纳表达式

1）我们会发现，每一次状态转移其实对应的是一个点的集合：

以后还会有经过除1，2点，经过除1，2，3点等等。

2）还有从哪个点开始走：

这两个条件就可以描述当前的状态。

我们把上面的总结用公式表示出来：

S为已经访问过的点的集合

v表示当前所在点。

那么dp[S][v]就表示为从点v出发访问剩余点，最终返回0点的最小长度。

我们把刚才的求解过程用公式表达出来。

$dp[S][v]=min(dp[S\bigcup {u}][u]+d(v,u)\mid u\euro S)$

∉这个符号我实在没找到，理解意思。

压缩

像这样，状态可以根据集合表示的DP，我们称作状态压缩DP。

状态和某个集合有关，集合里可以有一些元素，没有另一些元素，那么就可以用一个整数表示该集合，每个元素对应于一个bit，有该元素，则该bit就是1。

本题来说，所有点都在集合里就是11111

哪个点没在，对应的位就为0

注意：对于状态不是整数而是集合的情况，通常不太容易确定DP的顺序，如果确实不好想顺序，可以通过记忆化搜索来做。

集合S，如果对于任意S(i)<S(j)，那么一定有i<j。所以确定了顺序。

确定dp表的大小，有n个城市，从0开始编号，那么dp表的行数就是n，列数就是2^(n-1)

int n;
int d[MAX_N][MAX_N];//邻接矩阵
int dp[1<<MAX_N][MAX_N];

对于数字x，要看它的第i位是不是1，那么可以通过 (x >>i) & 1取出那一位来看

先用足够大的值初始化dp数组，不要影响结果，然后核心代码：

for(int S = (1<<n)-2 ; S >= 0 ; s--)//每一个集合
{for(int v = 0 ; v < n ; v++)//每一个出发点{for(int u = 0 ; u < n ; u++)//访问每一个点{if(!(S>>u&1))//判断是否在集合中{dp[S][v] = min(dp[S][v] , dp[S | 1<<u][u]+d[v][u]);}}}
}

总结

当我们把状态压缩应用到动态规划中，可以用来精简状态，节约空间，也方便转移。

最常见的就是用二进制来表是状态，利用各种位移运算，就可以实现O(1)的转移。

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