正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P7116

题目大意

有一个kkk维空间，第iii维长度为wiw_iwi，有nnn步每一步都是让某个维的坐标+1/−1+1/-1+1/−1，每次走完nnn步都会从111重新走一次，现在求从这个空间的每个点出发走多少步才能走出这个空间的步数的和。

1≤n≤5×1051\leq n\leq 5\times 10^51≤n≤5×105

1≤k≤10,1≤wi≤1061\leq k\leq 10,1\leq w_i\leq 10^61≤k≤10,1≤wi≤106 或者 1≤k≤3,1≤wi≤1091\leq k\leq 3,1\leq w_i\leq 10^91≤k≤3,1≤wi≤109

解题思路

求在这一步出去的方案显然很麻烦，所以我们可以考虑对于每步之后求还没出去的起点数然后求个和就一样了。并且每个维度可以在一定程度上分开考虑。

第一轮显然需要特别处理，设li,j,ri,jl_{i,j},r_{i,j}li,j,ri,j表示第iii步之后第jjj维的最小位移（非正数）和最大位移，那么这一步不会出去的方案就是∏j=1k(wj−ri,j+li,j)\prod_{j=1}^k (w_j-r_{i,j}+l_{i,j})∏j=1k(wj−ri,j+li,j)，也就是在[1−l,w−r][1-l,w-r][1−l,w−r]这个范围可以存活，这个可以暴力处理。

之后考虑每轮的第iii步的最小/最大位移距离依旧记作li,j,ri,jl_{i,j},r_{i,j}li,j,ri,j，之后考虑如何计算每一步多少轮之后会死亡，记作ttt。

首先设aia_iai表示第一轮维度iii缩小的范围，然后bib_ibi表示之后每一轮这个维度缩小的范围，那么对于第iii步来说，第jjj个维度的最久存活轮数就是⌊aj−ri,j+li,jbj⌋\lfloor\frac{a_j-r_{i,j}+l_{i,j}}{b_j}\rfloor⌊bjaj−ri,j+li,j⌋，算出ttt之后假设如果我们能够枚举轮数的话那么答案应该就是
∑x=1t∏j=1kaj−ri,j+li,j−bjx\sum_{x=1}^t\prod_{j=1}^ka_j-r_{i,j}+l_{i,j}-b_jxx=1∑tj=1∏kaj−ri,j+li,j−bjx
显然可以O(k2)O(k^2)O(k2)暴力乘算得到一个和xxx有关的多项式然后求和。

至于多项式求和我们可以通过∑x=0txj\sum_{x=0}^t x^j∑x=0txj带入多项式暴算，可以直接拉插得到，当然这题可以对于k≤3k\leq 3k≤3的情况我们自己手动插多项式算，然后k>3k>3k>3的就直接预处理就好了。

时间复杂度：O(nk2)O(nk^2)O(nk2) 或者 O(nk2+k×max{wi})O(nk^2+k\times max\{w_i\})O(nk2+k×max{wi})

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10,M=11,P=1e9+7;
ll n,m,ans,pw[M][N*2],l[N][M],r[N][M],w[M],a[M],b[M],e[M],f[M][M];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
ll calc(ll n,ll k){if(k>3)return pw[k][n];if(k==3)return (n*(n+1)/2%P)*((n*(n+1)/2)%P)%P;if(k==2)return n*(n+1)%P*(2*n+1)%P*((P+1)/6)%P;if(k==1)return n*(n+1)/2%P; return n+1;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll k=4;k<=m;k++)for(ll i=1;i<=1e6;i++)pw[k][i]=(pw[k][i-1]+power(i,k))%P;ans=1;for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld",&w[i]),ans=ans*w[i]%P;for(ll i=1;i<=n;i++){ll c,d;scanf("%lld%lld",&c,&d);e[c]+=d;for(ll j=1;j<=m;j++)l[i][j]=l[i-1][j],r[i][j]=r[i-1][j];l[i][c]=min(l[i][c],e[c]);r[i][c]=max(r[i][c],e[c]);}bool flag=1;for(ll i=1;i<=m;i++)if(e[i]!=0||w[i]-r[n][i]+l[n][i]<=0){flag=0;break;}if(flag)return puts("-1")&0;for(ll i=1;i<=n;i++){ll sum=1;for(ll j=1;j<=m;j++)sum=sum*max(0ll,w[j]-r[i][j]+l[i][j])%P;ans=(ans+sum)%P;}for(ll i=1;i<=m;i++)a[i]=w[i]-r[n][i]+l[n][i];for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=m;j++){l[i][j]=min(0ll,l[i][j]+e[j]-l[n][j]);r[i][j]=max(0ll,r[i][j]+e[j]-r[n][j]);}for(ll i=1;i<=m;i++)b[i]=r[n][i]-l[n][i];flag=0;for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=1;j<=m;j++)f[0][j]=0;f[0][0]=1;ll t=1e9+7;for(ll j=1;j<=m;j++){ll x=a[j]-r[i][j]+l[i][j];if(x<=0){flag=1;break;}if(b[j]>0)t=min(t,x/b[j]);for(ll k=0;k<=m;k++){(f[j][k]=f[j-1][k]*x%P)%=P;if(k)(f[j][k]+=f[j-1][k-1]*(P-b[j])%P)%=P;}}if(flag)break;for(ll j=0;j<=m;j++)(ans=ans+f[m][j]*calc(t,j)%P)%=P;}printf("%lld\n",ans);return 0;
}

P7116-[NOIP2020]微信步数【数学】相关推荐

[NOIP2020]微信步数
微信步数题解现在才补一年前的题. 首先我们的考虑一个简单的暴力.然而我考场上连这个暴力都没想到我们将一个点能走多少步转化一下,通过整体来看. 我们考虑走了这一步后还有多少点能够幸存,即没有走出整 ...
[NOIP2020] 微信步数
题目描述小 C 喜欢跑步,并且非常喜欢在微信步数排行榜上刷榜,为此他制定了一个刷微信步数的计划. 他来到了一处空旷的场地,处于该场地中的人可以用 kk 维整数坐标 (a_1, a_2, \ldots ...
NOIP2020微信步数
先考虑\(O(nkw)\)的30分暴力. 显然,每个维度上走过的位置是一个区间. 只要走的步数确定,那么这个区间关于起点位置的相对位置也就确定了. 只要先算出每个循环向左/右所走的最远距离,以及一个循 ...
2022-05-05随手更新文章,以及记录一下新的微信步数接口
本来不想写这个文章的,但好像不写点东西发一下,似乎没法引起大家的注意. 然后最近刚好更新了一下微信步数的API接口,那就顺便也水个文章,露一下脸. 关于微信步数API接口其实这个也没啥好说的,接口用 ...
微信步数日历打卡小程序
微信步数日历打卡小程序背景碳达峰.碳中和.垃圾分类.减塑.反食品浪费等绿色低碳生活正日渐成为社会新风尚."低碳生活,绿建未来"活动采取"线上线下"相结合的方 ...
ios11修改微信步数_你会时常去看他的微信步数吗？
在这个社交的网络圈子里,就算你一言不发,你的轨迹也会被默默地记录. 今天的你,给他的微信步数点赞了吗? 1 小洋和她的男友是异地恋,和其他的异地情侣天天煲电话粥的恋爱方式不同,由于社团工作以及学业压力 ...
uni-app利用uniCloud获取微信步数并将数据写入数据库
uni-app利用uniCloud获取微信步数并将数据写入数据库本项目依赖了uni-id 只是毕业设计,想法不完善,没有对用户授权失败做处理,如果编写的时候需要注意第一步:调用wx.login() ...
傻瓜式操作更改微信步数
更改微信运动步数的简单原理很多网络上面的教程大多是从更改微信的数据库入手,不仅非常麻烦,而且工具不好找. 不妨换一个思路,不去费尽心思更改微信的数据,我们可以更改其他运动APP的数据,再导入到微信运 ...
python刷步数程序设计_乐心健康间接修改微信步数-Docker持久运行python脚本
使用的就是抓包然后修改数据进行解包,相关的使用方法可以从原博客查看,我这里是进一步补充将脚本持久化运行想法是从csdn上面发现的一个博客开始的,能够修改微信步数. 缺点就是要一直运行才可以,那干脆扔 ...
开发笔记 | JAVA获取微信步数+日周月排行榜的实现
目录功能描述微信步数同步获取我当日的步数日排行,周排行,月排行榜的实现功能描述实现微信步数的同步(也就是获取当前的微信步数更新至数据库) 实现获取我当日的微信步数的查询实现按照日排行,周 ...

P7116-[NOIP2020]微信步数【数学】

正题

题目大意

解题思路

code

P7116-[NOIP2020]微信步数【数学】相关推荐

最新文章

热门文章