[BZOJ 2654]tree(陈立杰)

Description

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。

题目保证有解。

Input

第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。

接下来E行,每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。

Output

一行表示所求生成树的边权和。

Sample Input

2 2 1
0 1 1 1
0 1 2 0

Sample Output

Hint

V<=50000,E<=100000,所有数据边权为[1,100]中的正整数。

题解

二分+$kruskal$

如果直接$kruskal$求最小生成树,是无法保证白边数量的,那么我们考虑如果改变白边的数量。我们可以把白边全部都加上一个权值,也就是我们二分的值,然后跑最小生成树,同时记录白边数量。当白边数量>=$need$时,$l=mid+1$,否则$r=mid−1$,更新答案就是这棵生成树的权值和减去所有白边的增量。

证明:
我们发现,如果我们给白边增加权值,做最小生成树,由于白边权值增大,导致不容易选白边。记$f(x)$为给白边增加$x$($x$可为负)权值,做最小生成树后,选白边的数量。可以发现,$f(x)$随$x$增大而减小,显然可以二分。
其次,我们发现,由于黑边的权值是不变的,与白边权值不相互影响。同样由于白边之间关系相对不变,必然选出的$need$条白边一定是符合题意的。

 1 #include<map>
 2 #include<ctime>
 3 #include<cmath>
 4 #include<queue>
 5 #include<stack>
 6 #include<cstdio>
 7 #include<string>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstring>
10 #include<cstdlib>
11 #include<iostream>
12 #include<algorithm>
13 #define LL long long
14 #define RE register
15 #define IL inline
16 using namespace std;
17 const int V=50000;
18 const int E=100000;
19
20 int mid;
21 int v,e,need,ans,cnt,tmp;
22 struct tt
23 {
24     int u,v,c,col;
25 }edge[E+5];
26
27 IL int Kruskal();
28 bool comp(const tt &a,const tt &b) {return a.c+(a.col^1)*mid<b.c+(b.col^1)*mid;}
29
30 int set[V+5];
31 IL int find(int r) {return set[r]!=-1 ? set[r]=find(set[r]):r;}
32
33 int main()
34 {
35     scanf("%d%d%d",&v,&e,&need);
36     for  (RE int i=1;i<=e;i++) scanf("%d%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].c,&edge[i].col);
37     int l=-100,r=100;
38     while (l<=r)
39     {
40         mid=(l+r)>>1;
41         if (Kruskal()>=need) l=mid+1,ans=tmp;
42         else r=mid-1;
43     }
44     printf("%d\n",ans);
45     return 0;
46 }
47
48 IL int Kruskal()
49 {
50     tmp=cnt=0;
51     int k=0;
52     memset(set,-1,sizeof(set));
53     sort(edge+1,edge+1+e,comp);
54     for (RE int i=1;i<=e;i++)
55     {
56         int q=find(edge[i].u);
57         int p=find(edge[i].v);
58         if (p!=q)
59         {
60             k+=edge[i].col^1;
61             set[q]=p;
62             cnt++;
63             tmp+=edge[i].c;
64             if (cnt==v-1) break;
65         }
66     }
67     return k;
68 }

BZOJ能过的解法

感谢Hzoi_Maple！

由于$COGS$数据会有不满足恰好$need$条白边的情况

打个比方有这样的数据：加$0$时大于$need$，加$1$就小于$need$了。

这样应该在跑最小生成树的时候把所有的白边都加上加的那个权值，结果就是最小生成树的权值和减去$need*$加上的权值，多出来的那一部分完全可以当做黑边来看，因为数据是$100000$的，这样就可以了。（来自Hzoi_Maple）

排序的时候，如果边权相同，要把白边放在前面。

要计算当前至多能取多少白边，当然要把白边放前面。由于保证有解，在$cnt>=need$且$cnt$取最小值的方案下，一定能有黑边把多余的白边代替掉。

 1 #include<map>
 2 #include<ctime>
 3 #include<cmath>
 4 #include<queue>
 5 #include<stack>
 6 #include<cstdio>
 7 #include<string>
 8 #include<vector>
 9 #include<cstring>
10 #include<cstdlib>
11 #include<iostream>
12 #include<algorithm>
13 #define LL long long
14 #define RE register
15 #define IL inline
16 using namespace std;
17 const int V=50000;
18 const int E=100000;
19
20 int mid;
21 int v,e,need,ans,cnt,tmp;
22 struct tt
23 {
24     int u,v,c,col,rc;
25 }edge[E+5];
26
27 IL int Kruskal();
28 IL void change();
29 bool comp(const tt &a,const tt &b) {return a.rc==b.rc ? a.col<b.col:a.rc<b.rc;}
30
31 int set[V+5];
32 IL int find(int r) {return set[r]!=-1 ? set[r]=find(set[r]):r;}
33
34 int main()
35 {
36     scanf("%d%d%d",&v,&e,&need);
37     for  (RE int i=1;i<=e;i++) scanf("%d%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].c,&edge[i].col);
38     int l=-100,r=100;
39     while (l<=r)
40     {
41         mid=(l+r)>>1;
42         if (Kruskal()>=need) l=mid+1,ans=tmp-need*mid;
43         else r=mid-1;
44     }
45     printf("%d\n",ans);
46     return 0;
47 }
48
49 IL void change()
50 {
51     for (RE int i=1;i<=e;i++) edge[i].rc=edge[i].c+(edge[i].col^1)*mid;
52 }
53 IL int Kruskal()
54 {
55     change();
56     tmp=cnt=0;
57     int k=0;
58     memset(set,-1,sizeof(set));
59     sort(edge+1,edge+1+e,comp);
60     for (RE int i=1;i<=e;i++)
61     {
62         int q=find(edge[i].u);
63         int p=find(edge[i].v);
64         if (p!=q)
65         {
66             k+=edge[i].col^1;
67             set[q]=p;
68             cnt++;
69             tmp+=edge[i].rc;
70             if (cnt==v-1) break;
71         }
72     }
73     return k;
74 }

COGS能过的解法

转载于:https://www.cnblogs.com/NaVi-Awson/p/7252243.html