下面的话可能不严格，但是音乐不需要严格，我们只需要列出想要满足的条件，然后在这些条件下找到一个极优解，问题就算解决了。

一、频率排列和琴键排列

说钢琴一共有88个键，它们各自的频率组成一个等比数列，比例系数是2开12次方，即2^(1/12)，中音A(左起第49个键)的频率规定为440Hz，于是所有88个键的频率都确定了。

现在就有一个问题，为什么是等比数列而不是等差数列？从“十二平均律”这个名字看，在最低频率和最高频率之间均匀分布88个音，也应该得到一个等差数列才对。

这里有两个原因。第一个原因，也就是我觉得最重要的原因，是取决于人的听觉。人耳分辨两个音的高低，靠的是两个音之间的频率比例，而不是频率差值。比如说，一个正常人可以清楚的区分50Hz和55Hz，但却很难区分5000Hz和5005Hz(也许莫扎特可以，但是莫扎特是大神，大神是不具备参考意义的…)。这就意味着，如果钢琴上音的分布是等差数列，那么越到高音，你就会发现两个音越难以区分。这不是我们想要的。

当然这不能决定琴键必须是等比数列，因为如果你听到两个音不太好区分，那么只要增大它们的频率差即可，也就是说，耳朵的限制只能导致越到高音区，频率差越大而已。但是从数学的角度，我们可以证明这些音的分布必须是等比数列。这也就是我认为的第二个原因。

我们希望琴键的排列具有周期性，这样以便钢琴家找到每一个音的位置。最方便的获取周期的方式就是：一巴掌忽上去，就是一个最小正周期----这是手感上的周期性。我们要确定这一巴掌里面能覆盖多少个键：太少了不行----因为这样就限制了钢琴音乐的丰富性；太多了也不行----因为这样会导致每个键的宽度很窄，容易一指头戳到两个键。就现有钢琴的排键密度，好多胖纸也会吐槽按不到两个黑键中间去，巴赫这货貌似就挺胖的…于是巴赫就想，一巴掌里面排12个音很恰当，7个白键，5个黑键，黑键以两个一组、三个一组，间隔排列在均匀分布的白键之间。这是一个很好的排列方式：这使得你一巴掌无论拍在什么位置上，都会拍到一个最小正周期，并且具有视觉上的周期性----钢琴家很容易一眼就确定每个音的位置。要满足音的数量不多不少以及两个周期性要求，这是最好的排列方式了。

我们还希望一巴掌上去，大拇指和小拇指的两个音应该在相邻两个周期中的相同位置，比如说…(1234567)(1234567)(123…，一巴掌上去，大拇指和小拇指正好按到相邻的两个1、两个2等等。这两个音要非常和谐的共存，简单地说就是听起来超爽~

(从下面开始，用粗体的形如Ab来表示A_b，即A下标b)

我们现在知道声音是周期性振动，音色取决于波形。钢琴声音的波形不是sin，因此用f(wt)表示角频率为w的琴键的波形，那么两个音一起按下去的效果就是F(t)=f(w1t)+f(w2t)，(不妨设w2>w1)。我们希望F(t)的周期尽可能短(这里的“周期”指的是波形函数的数学周期，并不是人耳的听感周期，人听到的感觉是两个独立的频率)，一个周期内的波形尽可能简单。简单起见，设f(t)的最小正周期是1，F(t)的最小正周期是T，那么F(T)=f(w1T)+f(w2T)，其中w1T=i，w2T=j，i和j都是正整数，那么T=i/w1=j/w2要尽量小，也就是说i=(w1/w2)j，我们要使i和j都尽量小。最佳的方式就是w2=2w1，这时i=1，j=2，这是最优解了。

我们称上述这两个音为一个“八度”，因为一个周期内有7个白键，如果标记为1234567的话，这两个键就对应1和8。上述结果表明，一个八度的频率应该是二倍关系，你一巴掌上去，总归是按到频率比例为1:2的两个音。

现在我们还有一个想法，就是如果我按下两个键，只要它们的间隔相同，那么无论这两个键是在什么位置上，除了频率高低以外，它们合成的效果都应该相同(这说法有种“一致连续”的赶脚)。从数学的角度讲，也就是说：F1(t)=f(wit)+f(wjt)，F2(t)=f(wmt)+f(wnt)，如果j-i=n-m>0，那么存在a>0，使得F1(at)=F2(t)。简单地说，就是我可以通过横轴缩放，使得F1(t)与F2(t)重合。

F1(at)=f(awit)+f(awjt)=F2(t)=f(wmt)+f(wnt)，于是awi=wm且awj=wn，两式相除得到wj/wi=wn/wm。令j-i=n-m=1，这就意味着w(i+1)/wi=w(m+1)/wm=Constant对任意的i和m成立，这就证明了琴键频率必须排成等比数列。

最后需要确定的是这个数列的比例系数。一个八度的频率比例为1:2，中间有11个音，12个间隔，因此比例系数是2^(1/12)。

至于为什么中音A的频率是440Hz，这完全是出于规定。这样一来，所有的A音频率都是整数(除了最低音27.5Hz)，其余的音频率全是无理数(当然实际调音的时候，只要差不多就行了……)。钢琴上最低音频率为27.5Hz，最高音频率约为4186Hz。

二、听感周期与大小调

这里还有第三个周期性----听感上的周期性。首先来一张琴键图：

上面这张琴键图，Do、Re、Mi、。。。、Si、Do，分别对应CDEFGABC。以#代表升，b代表降，那么一个周期内的5个黑键依次称为#C、#D、#F、#G、#A或bD、bE、bG、bA、bB。

我们说，两个相邻琴键的间隔称为半音，比如C5和#C5、E5和F5、bA5和A5；中间隔一个琴键则称为全音，比如C5和D5、#F5和#G5、E5和#F5。

以大调为例。C大调是以C作为Do，然后取间隔为“全，全，半，全，全，全，半”，依次确定Re、Mi、。。。、Si、Do。这些音全部在白键上。

当然也可以随便找一个音定义为Do，然后按照上面所说的间隔确定相应的Re、Mi、……、Si、Do，这也构成一个大调。如果你选了图中的D定义为Do，那么按照上面的规则构造出的就是D大调；如果你选了bE5作为Do，那么就造出了降E大调(至于为什么不叫升D大调，那是因为这个大调的音阶里面有D出现，但是没有E出现，E被替换为bE，而D还是D，没有被替换为#D)。除了C大调以外的所有大调中都会出现黑键。

听感上的周期性就在于两点：1) 任何两个大调，除了频率整体的不同以外，给人带来的听感是完全相同的。也就是说如果你没有绝对音高能力(就是我随便给你弹一个音，你就能听出来它是哪个键)，那么我冷不丁给你来个C大调，然后过段时间再给你来个E大调，你就完全不能区分出它们的不同…2) 如果你弹C大调，从某个很低的Do开始往上弹，那么你的听感就是(DoReMiFaSoLaSi)(DoReMiFaSoLaSi)…的循环，当然频率会越来越高，但是除整体频率变化之外，每个周期内音和音之间的联系感是完全相同的。

当然还有小调，它们的间隔规则是“全，半，全，全，半，全+半，半”。例如a小调，是A B C D E F #G A。小调的效果就是比较忧郁比较冷，很容易听出它和大调的区别。但是如果你没有绝对音高能力，那么不同的小调在你听来就是相同的(如果你听到两个小调的间隔时间够长的话)…

一言以蔽之，就是说两个频率数列{ai}和{bi}，你能否听出它们的区别，取决于{ai/bi}是不是常数列。你会认为A大调和B大调、或者a小调与b小调是相同的，因为{Ai/Bi}和{ai/bi}都是常数列；但你很容易区分(DoReMiFaSoLaSi)和(FaSoLaSiDoReMi)的区别，因为它们相除不是常数列。琴键排列的最小正周期导致你必须等到下一组(DoReMiFaSoLaSi)，才会有相同的听感，之前的任意一组7个白键，听感都是互不相同的。

作曲家喜欢用转调，比如一首曲子，本来是A大调，中间转成了E大调直到结尾，如果两段的旋律相同，那作曲家和音乐家会听出这两段不一样，但一般人会觉得这两段就是在重复。也许在转调的过程中，你能听出一些变化来，但是转完以后，你就分不清前后的区别了，比如kiss the rain最后一段，转调的瞬间会让你听起来别扭，但是转完了以后，你会觉得旋律和之前就是一样的；再比如《月光》第三乐章，听起来像是重复了3遍，前两次确实是全同的重复，但是第三次，它就已经不在同一个调上了。更巧妙的曲子，旋律类似，但是音的间隔有微调(相当于一个数列的大小关系不变，但是间距有变化，效果类似于大调转小调)，如果两个旋律前后隔得够远，一般人也有可能听不出区别来，贝多芬经常干这种事情，比如的《悲怆》和《黎明》的第一乐章。

三、和谐与不和谐

前面提到过，听感取决于波形。如果波形简单，周期性好，那么听起来就爽；反之就不爽…为了看到波形效果，我们现在假设钢琴单音的波形就是sin，这样几何画板就能画出来了。

上述表格第二列是2^(i/12)，第三列是第二列的有理数近似值，第四列是我标记音高的方式，第五列是对应的音。

最和谐的当然是八度两个音了，它们的频率关系是二倍，波形如下：

看起来很爽，所以听起来也一样。正是因为要这么爽，所以它决定了八度频率的二倍关系。

再看一个和谐的例子。在表中可以看出So和Do的频率关系约是1.5倍，可以猜测如果Do+So+Do，即1+5+8这三个音一起按下去，应该会很和谐。波形如下：

看上去确实很和谐，如果不相信的话，可以去钢琴上弹一下，确实听起来很爽。

同理，Do+Fa+Do也应该很漂亮：

大三和弦是Do+Mi+So，即1+3+5，这是一个协和和弦，可以看到波形如下：

虽然没有前三张漂亮，但是对耳朵而言，这样还算是很有规律的…

小三和弦是1+2.5+5，这个和弦就不如大三和弦那么舒服了，波形如下：

确实是有点乱，不过听起来还算是可以。下面随便找一个听上去就蛋疼的组合，1+1.5+3+4，波形如下：

我看这个波形就觉得它很蛋疼，甚至还有拍频的影子。也许你会觉得它看上去没比小三和弦烂多少，但是如果你看到它后面的样子：

你最好拿它去和Do+So+Do的波形比一下……

当然以上只是数学的一种解释，漂亮的波形确实能产生好听的声音，但是蛋疼的波形不一定就会难听。不同的音组合会给人不同的感受，就好像小调带来忧郁抒情的氛围，月光、辛德勒名单、肖邦夜曲第一首，(还有我军训时写给14连的那首煞风景的无词歌)，这些都是用小调写的，但如果你把小调的和弦画成波形，那必须是很蛋疼的样子…作曲的时候用哪些音，取决于作曲家的听感。至于为什么不同的音乐(无非就是各种频率和音色的音按某些规律组合)给人带来的感受不一样，那就不清楚了…

四、中国风音乐转变为日本风

这是很多人感兴趣的问题。我们大中华的音乐，通常用大调写成，听起来雄伟大气上档次；而小日本的音乐通常用小调写成，听起来阴郁狭窄甚至不乏蛋蛋的忧伤。但是如何把音乐转变成日本风格呢？

其实说白了就是把一首大调音乐，转换成起音相同的小调。比如有一首C大调的曲子，它对应的音阶是C D E F G A B C，你应该把它转换成c小调，对应的音阶是C D bE F G bA B C。你需要做的是把这首曲子里面所有的E和A降半音，变成bE和bA，其它音保持不变。如果是G大调，那就转成g小调，把所有的E和B降半音变成bE和bB。其它大调也类似，只不过你要小心的判断要降的是哪两个音。

不同的曲子在这种变换下会呈现出不同的性质。有的曲子，改完以后立刻节操尽失，变得极其小日本，我称这一类曲子为“可日的”，或者“Fuckable”，典型的例子有《翻身的日子》、《牧童短笛》、《浏阳河》等；有的曲子，改完以后旋律变得很怪，但是丝毫没有日本风，甚至还能保留原来雄壮亦或是大气的风格，颇有“宁为玉碎不为瓦全”的气节，我称这一类曲子为“不可日的”，或者“Unfuckable”，典型的例子是舒伯特的《军队进行曲》；还有的曲子改完以后，旋律很奇妙，时而有淡淡的日本风，时而又全无，时而抒情，时而蛋疼，这种既想hold住节操却又心有余而力不足的曲子，我称之为“半可日的”，或者“Semi-Fuckable”，典型的例子是《彩云追月》，这首改完以后更多的表现出格里格的范儿，以及诡异的没有前后联系感的旋律。

五、关于傅里叶

有人表示前面说的和谐不和谐，其实就是傅里叶变换。我觉得对这个问题用不上傅里叶。因为：

1. 傅里叶级数里的基函数是sin和cos，它们对于倍频有正交性和完备性。但是钢琴键的单音波形不是sin，之前设它为f(wt)，它对于不同的w就不一定有正交性和完备性了，我情愿赌它根本没有正交完备性……如果把每个单音f(wt)都以{sin(nwt), cos(mwt)}为基进行分解，那也没有什么意义，因为我们听到的直接就是频率为w的f(wt)波形，而不是分解出来的AnSin(nwt)和BmCos(mwt)。

2. 如果你说把几个音合成以后的波形再做分解，比如Do+So+Do的那个波形，那就更没意思了。因为除了像八度这种倍频关系的音组合以外，其它的音频率关系都是无理数，这就意味着严格来说它们合成的波形是没有周期性的。前面所说的“波形周期性好”只不过是说你一眼看上去的效果而已，看起来很有规律。对一个没有周期性的定义域无穷的函数不能做傅里叶级数分解，而只能做傅里叶变换，这时搞出来的系数就不是离散的值，而是一个连续谱。

3. 就算你把波形做了近似，比如把Do+So+Do近似为F(t)=f(t)+f(1.5t)+f(2t)，当然这个F(t)是有严格周期的，然后你把它给傅里叶分解了，搞出一堆系数，那也没什么用。因为我弹琴的时候完全可以给这三个音任意的不同的力度，这会让所有的系数全变掉，你一定会蛋碎的……你不近似直接做傅里叶变换也一样，Φ(k)会整个变掉。

这篇文章想表达的理由是：如果几个音的频率关系可以约成分母很小的分数，那么它们合成的波形就会体现出很好的视觉上的周期性，那么听起来就会和谐。在乐理里面也是类似于这么说的，你可以百度百科或维基百科一下“和弦”。

最后，就像开头说的，“音乐不需要严格”，我觉得何必要用傅里叶这种大杀器来解决音乐这种小问题呢……没有数学，音乐照样好听；有了数学，音乐也不会因此更好听。何况数学比音乐要傲娇的多了，难道你有听说过“音乐虐我千百遍”这种说法吗？音乐能在数学虐死我的时候把我治愈，那就足够了......

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