相位解包裹（八）多频外差法相位解包裹Multi-wavelength(heterodyne) phase unwrapping

这篇文章介绍我了解的最后一种解包裹算法，多频外差法，实际上原理和多频法也挺相似的，时间相位解包裹的方法都大同小异，采用哪一个就我认为结果都差不多。

多频外差法Multi-wavelength (heterodyne) phase unwrapping

多频外差法，通过将两个频率接近的相位图差频得到一个频率很小的相位图，进行解包裹。

多频外差法相位解包裹和多频法相位解包裹原理相似，同样需要投影多个不同频率的正弦条纹图样到被测物体上，区别在于，该方法要求投影的多个正弦条纹图样的频率接近。分别提取出各频率正弦条纹图样的截断相位，如下图，将其中两个频率接近的条纹图样的相位图通过差频生成一个等效相位图，差频后的等效相位图、等效波长可由下面式子表示。

${{\Phi }_{eq}}={{\phi }_{eq}}=\left[ {{\phi }_{h}}\left( x,y \right)-{{\phi }_{l}}\left( x,y \right) \right]\bmod 2\pi$

${{\lambda }_{eq}}=\frac{{{\lambda }_{l}}{{\lambda }_{h}}}{{{\lambda }_{l}}-{{\lambda }_{h}}}$

当两个频率相近的条纹的相位图差频，会得到一个周期非常大（频率非常小）的等效相位图。如果差频获得的等效相位图一个周期就可以覆盖整个被测物体，则该相位图不需要相位解包裹, 根据下面两式（和多频法一样的），可通过差频获得的相位解包裹高频条纹的截断相位，逐级恢复出最高频条纹的连续相位。

${{k}_{\text{h}}}\left( x,y \right)=\text{round}\left[ \frac{\left( \frac{{{\lambda }_{eq}}}{{{\lambda }_{\text{h}}}} \right){{\Phi }_{eq}}\left( x,y \right)-{{\phi }_{\text{h}}}\left( x,y \right)}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }} \right]$

${{\Phi }_{\text{h}}}\left( x,y \right)={{\phi }_{\text{h}}}\left( x,y \right)+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }{{k}_{\text{h}}}\left( x,y \right)$

对于多频外差法，令我很疑惑的是我看的一些中文文献，往往都用很复杂的方式去推导，解包裹用条纹阶数去推导，反正过程那叫一个复杂，我是没心思看完。我把其中两篇列在下面，[6]、[7]，如果有大神能给我解答其中的原因，恳请指教。

实验结果

这里放一个我做的差频的实验，逐级差频，可以得到最后的相位图，可见没有截断了，然后就可以用这个相位图逐级往回解包裹。

时间相位解包裹的小缺点

至此，我把我了解的相位解包裹方法基本介绍了个遍，一直在说空间相位解包裹会传递错误，那现在介绍完了时间相位解包裹的两种算法，也来简单谈谈他们的小缺点。

对于多频法相位解包裹和多频外差法相位解包裹，都有尺度因子 $\frac{{{\lambda }_{\text{l}}}}{{{\lambda }_{\text{h}}}}$ 或 $\frac{{{\lambda }_{eq}}}{{{\lambda }_{\text{h}}}}$ ，可以看出来，这一尺度因子一定是远大于1的，当低频条纹的相位图中存在噪声，噪声会被尺度因子放大，所以相位解包裹前或者解包裹后需要进行滤波等操作，减少放大后的噪声对相位解包裹准确性的影响。关于相位图滤波，也有所讲究，在Two-Dimensional Phase Unwrapping: Theory, Algorithms, and Software中也有提及，有机会我再写一写吧。

参考文献：

[1] Ghiglia D C, Pritt M D. Two-dimensional phase unwrapping: theory, algorithms, and software[M]. New York: Wiley, 1998.

[2] Zhang S. Absolute phase retrieval methods for digital fringe projection profilometry: A review[J]. Optics and Lasers in Engineering, 2018, 107: 28-37.

[3] Zuo C, Huang L, Zhang ML, et al. Temporal phase unwrapping algorithms for fringe projection profilometry: A comparative review[J]. Optics and Lasers in Engineering, 2016, 85: 84-103.

[4] Zhang S. Digital multiple wavelength phase shifting algorithm[C]//Optical Inspection and Metrology for Non-Optics Industries. International Society for Optics and Photonics, 2009, 7432: 74320N.

[5] Hyun J S, Zhang S. Enhanced two-frequency phase-shifting method[J]. Applied optics, 2016, 55(16): 4395-4401.

[6] 雷志辉, 李健兵. 基于双频投影条纹的全自动相位解包裹方法[J]. 光学学报, 2006, 26(1): 39-42.

[7] 章寒清. 基于多频投影条纹的物体曲面测量方法研究[D]. 长沙: 国防科学技术大学, 2006.

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