晶体管频率特性——高频等效模型、频率特性、π模型的单向化

晶体管高频等效模型

通过之前的定性分析得出在高频情况下晶体管结电容将对信号传输带来较大影响。之前的 h 参数等效模型没有考虑结电容的影响，因此不再适用，此时要用新的模型来反映晶体管的结电容，这就是高频等效模型。

此时从晶体管的实际物理结构出发来建立它的模型

b’是假想的基区内的一个点

r_bb’ 是假想的基区内的一个点

r_b’e 发射结电阻

r_b’c 集电结电阻

r_ce 输出电阻

C_b’c 集电结电容

C_b’e 发射结电容

输出回路仍然用一个受控电流源来体现电流控制特性，但此处用一个电压控制的受控电流源 g_mU_b’e 代替了h参数模型的 βi_b 。g_mU_b’e 是在u_ce 为常量的情况下变化的 i_c与变化的u_be 的比值，这显然是一个电导的量纲，称其为跨导。

此反应动态参数也与静态有关，当静态工作点确定以后 g_m 就是一个常数，说明与频率无关的量，而 β 与频率有关，因此用 g_m u_b’e 取代原来的 βi_b 就将整个器件受频率影响的因素归结在两个电容对频率的响应上。

画出等效模型

输入回路画在左侧，输出回路画在右侧，就可得到完整的晶体管高频等效模型，反应了结电容在晶体管中的客观存在。

r_bb’ 是基区体电阻，r_b’e 发射结电阻这两电阻和就是之前的 r_be 非常重要不能忽略，r_b’c 是集电结电阻，当放大电路工作的时候集电结应处于反偏的状态，而一个反偏的PN结反偏电阻是非常大的，所以可以忽略他对信号传输的影响，视为开路处理。同时晶体管的输出电阻 r_ce 也非常大，通常在100kΩ左右，也可以忽略其对信号传输的影响，视其为开路。即可得到简化后的等效模型。

f_T 称为晶体管特征频率

在低频和中频时，由于结电容容抗较大可以视其为开路。此时r_b’b 和r_b’e 就是 r_be ；g_mU_b’e 等于 βi_b 。低频时，忽略晶体管内部电容，混合π模型与h参数模型等效。

再 π 模型中，可以看到结电容的存在，结电容的存在使得晶体管成为一个与频率敏感的器件。那么晶体管的电流放大系数 β 就是晶体管信号传输能力的重要标志，因此，在全频率的范围之内，重新来考察电流放大系数跟信号频率 f 的关系。在这样一个 π模型中，将c、e短路起来，这是因为电流放大系数 β 的定义，在定义中，可以看到他是在U_ce 为常量的情况下变化的 I_c 与变化的 I_b 比值。而在我们的输出特性曲线的几何关系上，则反映出在固定的U_ce 的情况下，纵向特性曲线的一个疏密程度。因此，对于交流分析来说，由于U_ce 为常数，当然要将c和e之间短路起来。那么就可以基于这样的电路来考查 I_c 和 I_b 的一个比值。对于这样的比之类的参数，仍然可以采用前面的找共同关联量的思路。通过观察可以发现，u_b’e 既出现在输入回路，又出现在输出回路，因此如果能用 u_b’e 表示I_c 和 I_b，就可以解决 β 的问题。

根据基尔霍夫电流定律，在受控电流源上端的节点考察就会发现，显然 g_mu_b’e 电流等于 C_b’c 上的电流和 I_c 的和。通过对电路的观察，就可以发现，C_b’c 两端电压恰恰就是u_b’e 。那么将这样一个 C_b’c 的电抗视为1/jwc，就可以得到 I_c 与 u_b’e 的关系式如上图所示。再来看看 I_b 和 u_b’e 的关系，I_b 是晶体管的输入电流，而 u_b’e 则是竖着三条并联支路的端电压，I_b 恰好就是这三条并联支路的总电流，因此根据欧姆定律，很容易就可以得出 u_b’e 和 I_b 的关系。联立两个方程就可以得到 β 关于 w 的一个表达式。在实际的电路中，往往满足 g_m 远远大于 wC_b’c 这样的条件。因此，经过合理的近似，就可以得到上图黄框中 β 与 w 的表达式。

通过对这个表达式一个定性的分析，首先来看，当信号的频率非常低的时候，也就是jw(C_b’e + C_b’c)r_b’e 这一部分约为零的时候，显然电流放大系数会出现一个最大值，也就是对于低频情况下的一个通带增益，β₀ = g_mr_b’e 。随着频率的逐渐增加，分母逐渐变大，显然电流放大系数会有所损失。

仍然定义关键f_β=1/2πτ，只是此时的C并不是单一的电容，而是两个电容之和，进而将f_β带入表达式，将w用2πf来取代就可以得到β关于f的一个表达式，如上图右侧所示。进而就可以得到电流放大系数的幅频特性和相频特性。

通过对它取对数，如下图。就可以发现此时的幅频特性和相频特性，显然跟之前在单时间常数RC电路中的一个低通电路是十分相似的，只是在一阶低通电路的情况下叠加了一个20lgβ₀常数。因此，就可以利用之前的结论画出波特图。可以看到此时的波特图就是在原来的一阶RC低通电路的波特图的基础上，抬升到了20lgβ₀的位置。仍然是在f_β的位置出现拐点。此时需要强调的是在这样一个波特图中，拐点处仍然会产生3dB的一个最大误差，也就是说在f_β处，此处对应的β这样一个电流放大系数的增益已经相比于通带增益下降了3dB。因此f_β也是这个波特图的上限频率。同样观察相频特性，也可以发现，和低通电路一样，在频率较低的时候，电流的放大系数将不会产生相移，随着频率的增高，电流放大系数将会产生最大90度的相位的滞后。而相频特性的最大误差也出现在拐点处，仍然是5.71度。那基于这样的一个晶体管，电流放大系数的幅频特性和相频特性，我们就可以定义一些非常重要的频率参数来表征一个晶体管，他的品质特性。

基于以上的一个晶体管的电流放大系数的幅频特性和相频特性，就可以定义一些非常重要的频率参数来表征一个晶体管品质特性。

共射截止频率 f_β

定义当β值下降到0.707β₀的时候，所对应的频率称其为共射截止。在波特图上对应上限频率。在这样一个频率点，显然电流放大系数的幅值下降了3dB。此时需要强调的是在这样一个位置，并不意味着晶体管失去了电流放大能力，而是表示此时的频率已经下降了3dB，如果频率进一步的增大的话，将会以每十倍频20dB速率衰减，电流放大能力就大打折扣。

当信号的频率进一步的增高的时候，电流放大系数的幅值将进一步的下降。

定义当电流放大系数降为1的时候，所对应的频率称为特征频率f_T。f_T在幅频特性与横轴的交点处。将f=f_T带入刚刚得到的β的频率响应。就可以得到f_T与f_β之间的关系，特征频率f_T=β₀f_β。这就反映出晶体管的特征频率要远远大于它的共涉截止频率。特征频率是经历了一个非常重要的参数。因为当晶体管工作频率等于甚至大于特征频率f_T的时候。就意味着放大系数。已经等于1甚至小于1了，那就说明此时晶体管将不再具有放大作用。因此，晶体管的工作频率绝对不允许超过特征。对于一个普通的监管来说，它的特征频率可能从100兆赫兹大道几时集合。不同类型的器件差别较大。

和共射电流放大系数β一样，也可以对共基电流放大系数α展开频率响应分析。采用同样的方法可以得到α和频率 f 的关系，可以发现和α一样都具有低通特性。

定义当α值下降为低频α的0.707倍时所对应的的频率称为共基截止频率_α。根据α和β关系以及β的频率特性，就可以得到f_α和f_β的关系。f_α=(1+β)f_β。这就意味着，对于同样一个晶体管来说，他的共基截止频率要远远的大于共射截止频率。这也是为什么攻击放大电路的带宽通常要远远大于共射放大电路的原因所在。对于一个低频的小功率管来说，它的f_α的值可以从几十达到几百千H，而对于高频的小功率管来说，f_α的值甚至可以达到几百兆。通过以上对晶体管的频率特性。

重要的结论

1、晶体管电流放大系数β和α都是频率的函数，具有低通特性；这也就意味着，在低频和中频阶段，晶体管能够保证较好的电流放大能力，随着频率的增高，电流放大能力将会大大折扣。

2、f_β和f_T是晶体管重要的频率参数；其中f_β表征的是晶体管能够保证中频的时候电流放大系数能力的一个上限频率。而f_T则是表征的晶体管，具有放大能力的一个最高的截止频率。

3、f_T = β₀f_β，f_α =(1+β)f_β；

4、f_β < f_T < f_α

晶体管高频等效模型的单向化——π模型的单向化

C_b‘c连接了输入回路和输出回路中间，就导致了输入信号传输出现了一个双向化的过程，引入了反馈，信号传输有两个方向，使电路的分析复杂化，可以用密勒定理来简化电路。

密勒定理

一个输入和输出之间跨接阻抗Z的网络，若设该网络的传递函数 A=U₂/U₁，则跨接阻抗Z可用并接在输入端和输出端的两个等效阻抗Z₁和Z₂取代。

等效前后应该保证等效前后的输入端口和输入端口的电流电压关系是相同的。

这也就是说，只要将原来的Z分解为满足这样的关系式的Z₁1和Z₂，放入输入回路和输出回路，就可以实现单向化前后系统上的等效。密勒定理，对于电容跨接在输入和输入回路之间的器件也是适应。例如以下例题中

利用密勒定理就可以针对π模型进行分析。用两个电容来取代C_b’c。分别连接在b’e和Ce两端。

显然，C’比(K-1)C_b’c/K要大得多，这就意味着在一定频率信号的作用下，这个等效电容的电抗较大，对输出信号的传输几乎不会带来影响，因此可以将其视为开路处理。这样就可得到了简化之后的单向化的混合派等效模型。

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