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奇偶性与魔术（一）——奇偶性的数学本质

奇偶性与魔术（二）——数学到魔术的初体验

在上一篇里，我们着重介绍了一个硬核的数学魔术的改造过程，一方面看到实际发挥作用的数学原理在背后掌控着全局，另一方面，魔术的艺术包装使得这更像是一个艺术作品。那么今天，我们再来看一个新的奇偶性原理的魔术设计，比起上一篇那个，看看又会有着怎样不一样的体验。

视频1 五张牌的猜想

这个魔术的前半部分是通过印度洗牌来暗撇关键牌来确定选牌，这部分介绍在关于洗牌的研究（五）——从数学到魔术之印度洗牌中已经有所介绍，这里不再赘述，总之知道了牌的位置和点数以后，最后剩下5张中包含这张牌。后面的流程则改变自Woody Arogan里面的Ring divination，接下来我们来剖析一下这里面绝妙的数学魔术原理设计。

1. 开始和随意移动。这么大自由度的选择让观众先入为主地就感觉整个魔术都是他在随意选择，而这时候魔术师本来也没有什么选牌的线索，那就干脆先随便他选再想办法吧，我就是要这个效果，再想怎么实现！好在5张牌并不多，而且数量不平衡，偶数牌仅有2张而已。这给我们了一些可乘之机。

2. 位置是多少，就移动多少次，左右随便选，还从哪边数都可以。这看起来又是一个无敌的观众随意的选择，甚至看起来还有了初始位置，随便选择左右和从任意一边数的三个选择来增加不确定度，这番狂轰滥炸下可能大脑早就默认这是一个随机选择了，但里面的数学事实是：

A. 总共还是5个位置而已，操作的增加并没有增加选项数量，其熵的上限仍然有限（log5），即使没有任何的规律，大多操作也不能再增熵了，而是顶多保持均匀分布来达到最大熵。但是，只要有一次操作是设计的，那么混乱度就会迅速降低。

B. 初始位置其实代表的是从一个虚拟0位置开始移动位置编号n那么多次，每次都像右移动的结果（因为是从1开始计数，所以要补一个虚拟位置0）。那么再次移动n次则相当于第二次同样的操作，哪怕这次操作被分解成了每步都等价的左或者右的选择，就会恢复起始位置的奇偶性。理由是：根据系列第一篇里分析的奇偶性的本质——群的数学性质，因为加减运算在奇偶集合上的等价性和C2群的性质，这种左右加减分解是可行的；而二次相同的操作，无论初始位置是奇数（r）还是偶数（e）等价下的移动，都因为C2群的所有元素满足这个二阶对称性质而会停留到原位置（即，r + r = r * 2 = e + e = e * 2 = e，或者X * e = e，即C2群的元素都有二阶对称性，e是该交换环的消去子），也即仍然会恢复0位置作为偶数位置的性质（如果改变索引起点，作为奇数也无妨，反正奇偶性质不变就是了）。

C. 而对于长度为奇数的序列，因为左右数过去的和恰为偶数，所以仅有同奇同偶才可能达成，故从哪边数起对我们选择的虚拟参考位来说奇偶性不受影响，或言之虚拟参考位的奇偶性就是相同的，在同一个集合内，在群里就是同一个元素！

这些因素共同作用，才有了最后无论1，2步骤怎么进行，最终都会停留在仅有的2，4两个偶数位置上，而这个离一个确定的结果只差一步之遥，或者1bit的信息了！这种很诱人但又不完美的结果魔术师向来是不怕的，总会有后续的步骤把它补成一个完美的故事！

3. 移走1，5两张，留下2，3，4。我们没有移走第3张，不然这种间隔的样子也太可疑了，这种怪怪的数学痕迹是绝对要在魔术设计中抹去的。如果拿走第3张，这样事实上留下的不确定度最小，但是却不构成一个完美的画面而让我们放弃。数学魔术不是要把数学所有的原理都展现出来，而是要恰到好处地用在流程推进需要的每一个步骤里，数学不够，魔术来补，总之都为了那个完美的结局。这里3不移走一方面使得局面不那么可疑，另一方面，暂时不能完成结果也使得有了反跌的效果，增加了魔术过程中的紧张感和剧情的跌宕。

4. 随意想一个个位数，想多少就移动多少次。这里我们已经很明白，只要再来一个奇数，就会从现在的偶位跳转到唯一的奇数位置上去。这样整个魔术效果就变成一个确定的事件了。个位数的目的是为了让进程可控和降低数错风险，而我们会在第一个奇数出现的时候结束这个游戏，但是是没有任何痕迹的，因为，没有人预先说过我要执行多少次。当然，整个过程还是随意地可以选择左右，这一点一直是一个杀招。

当然，如果我们要的是一个偶数，那么根据C2群的性质，把同一个数移动两次就可以了，可以看作是r + r = r * 2 = e的加法性质的使用，或者r * e = e（作为交换环，e是+的单位元，但是是*的零化因子）。这时再要求往回移动一个位置或随便移动一个，即可得到基数位置了，不过这样做在干净程度上不如前者，而且和第一步的原理有所重叠，而第一步之妙在于巧妙地用任意起始位置和其索引来隐形地代替了一次移动而完全没有同一件事情做了两边的痕迹，简直绝妙，要不是对数理逻辑天才般的敏感，根本不会想到这二者居然是等价且互逆的造作。故在表演的这个阶段没这个需求，也放弃了这个选项。这一点儿也不可惜，就像爱迪生又发现了一种不适合做灯泡的材料一样。

5. 最后移开其他的牌，只剩下手指下的，就是观众选的牌。注意，我们已经知道是第三张，并且这是我们这个魔术能够找到观众选牌的实际逻辑，即通过固定位置的强选。但是，一旦暴露了这个信息“第三张”，不但暴露了魔术的秘密线索，也不会让人觉得你多知道了什么而刮目相看，相反顺着这条线索就顺藤摸瓜找到了全部的秘密，没有形成原理的死角。故而这不是一个好的选择，所以，我们最后弱化位置，而只是记录最后停下的牌，就形成了完全随机选牌的效果！这样甚至组合形成了比魔术师自己猜出是哪张牌更强的效果，毕竟，这一切都发生在观众自己手下！

这个小小的魔术里，每一个步骤的设计，每一句台词的引导都是精密设计的。这样才能最后一步步的导向那个神奇的结果。所以我说扑克牌魔术是魔术里的掌上明珠，几乎所有的魔术原理，现象，表演方式，都可以通过扑克牌来极致化地展现，在这小而美的流程里体现魔术设计的美感反而超越了一些笨重而大型的道具，带着镣铐跳舞，让人欲罢不能。

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MatheMagician，中文“数学魔术师”，是一个十分冷门的职业，原指用喜欢用数学原理设计魔术的魔术师或数学家。但由于数学太过艰深，变成魔术又表演困难，所以这个领域的专业研究者及其罕见。但其实，魔术设计只是数学建模的一个别致的场景；而魔术本身也蕴含着数学之外的诸如心理学，行为科学等其他广阔的议题。我们文章分享的内容涵盖统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程解析，鉴赏等关于魔术的思考；还有大量直接结合二者设计的数学魔术的分享。我们以MatheMagician为名，既取用数学来变魔术的本义，也取像魔术师一样玩数学的意思。如果你对数学或者魔术感兴趣，或者喜欢思考和有内涵的文字，我们的内容一定能成为你学习成长的好伙伴！欢迎在文末或公众号留言与我交流！

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