其中：

B_0(t) =   (1-t)^5        =   -t^5 +  5t^4 - 10t^3 + 10t^2 -  5t   +   1

B_1(t) =  5(1-t)^4 * t    =   5t^5 - 20t^4 + 30t^3 - 20t^2 +  5t

B_2(t) = 10(1-t)^3 * t^2  = -10t^5 + 30t^4 - 30t^3 + 10t^2

B_3(t) = 10(1-t)^2 * t^3  =  10t^5 - 20t^4 + 10t^3

B_4(t) =  5(1-t)   * t^4  =  -5t^5 +  5t^4

B_5(t) =             t^5  =    t^5

V(t)可以改写为：

V(t) = A*t^5 + B*t^4 + C*t^3 + D*t^2 + E*t + F

其中：

A =    -P_0 +  5*P_1 - 10*P_2 + 10*P_3 -  5*P_4 +  P_5

B =   5*P_0 - 20*P_1 + 30*P_2 - 20*P_3 +  5*P_4

C = -10*P_0 + 30*P_1 - 30*P_2 + 10*P_3

D =  10*P_0 - 20*P_1 + 10*P_2

E = - 5*P_0 +  5*P_1

F =     P_0

我们希望初始加速度和初始jerk都为0，因此我们设置P_i=P_0 = P_1 = P_2 (initial velocity)，P_t = P_3 = P_4 = P_5 (target velocity)，经过简化以后有：

A = - 6*P_i +  6*P_t =  6*(P_t - P_i)

B =  15*P_i - 15*P_t = 15*(P_i - P_t)

C = -10*P_i + 10*P_t = 10*(P_t - P_i)

D = 0

E = 0

F = P_i

此时有 V(t) = A*t^5 + B*t^4 + C*t^3 + F          [0 <= t <= 1]

二 Matlab代码实现

matlab实现上述3种曲线规划代码：

clc;clear;

flex=5;

vmin=10;

vmax=100;

num=15;

for i=0:1:2*num+1

t(i+1)=i;

y(i+1)=vmin+(vmax-vmin)/(1+exp(-flex*(i-num)/num));%simoid

z(i+1)=vmin+(vmax-vmin)/(2*num)*i;%梯形

e(i+1)=vmin+(vmax-vmin)*(i/(2*num)-1/(2*pi)*sin(2*pi/(2*num)*i));%sin曲线

f(i+1)=6*(vmax-vmin)*(i/(2*num))^5+15*(vmin-vmax)*(i/(2*num))^4+10*(vmax-vmin)*(i/(2*num))^3+vmin;%bezier曲线

end

plot(t,y,t,z,t,f)

hold on;grid on;legend

波形如下：

data1-4分别是sigmoid、梯形、sin、bezier曲线速度规划的速度曲线。

可以看到三种曲线形状差不多，但以bezier曲线最为柔和。运算量方面，sigmoid要执行e的幂运算所以较难优化，sin函数可以用转化成定点查表法进行优化，bezier曲线只涉及浮点乘法运算量速度相对sigmoid会较快，相对优化的sin函数则会较慢。下面画出sigmoid、sin和bezier三种曲线规划时的加速度曲线：

for i=0:1:2*num+1

if i>0

err1(i+1)=(y(i+1)-y(i))/(1/(2*num));

err2(i+1)=(e(i+1)-e(i))/(1/(2*num));

err3(i+1)=(f(i+1)-f(i))/(1/(2*num));

end

end

figure;

plot(t,err1,t,err2,t,err3);grid on;legend;

可见最大加速度最大依次是sigmoid>sin>bezier