机器学习小组知识点16：指数分布（Exponential Distribution）

2024-05-16 01:35:34

试用环境

指数分布是事件的时间间隔的概率。下面这些都属于指数分布。

婴儿出生的时间间隔

来电的时间间隔

奶粉销售的时间间隔

网站访问的时间间隔

推导

指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

P(X>t)=P(N(t)=0)=(λt)0e−λt0!=e−λt

P(X>t)=P(N(t)=0)=\frac{(\lambda t)^0e^{-\lambda t}}{0!}=e^{-\lambda t}
反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。即：

P(X≤t)=1−P(X>t)=1−e−λt

P(X\leq t)=1-P(X>t)=1-e^{-\lambda t}

累积分布函数

累积分布函数可以写成：

F(x;λ)={1−e−λx0,x≥0,,x<0.

{\displaystyle F(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x

概率密度函数

一个指数分布的概率密度函数是：

f(x;λ)={λe−λx0,x≥0,,x<0.

{\displaystyle f(x;\lambda )=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x
推导比较简单，就是累计分布求导嘛。

记号

若随机变量X {\displaystyle X} 服从参数为λ {\displaystyle \lambda } 的指数分布，则记为 X∼Exp(λ){\displaystyle X\sim Exp(\lambda )} .

期望值和方差

随机变量XX (XX 的率参数是λλ) 的期望值是：

E[X]=1λ

\mathbf{E}[X] = \frac{1}{\lambda}
有种直观的解释理解这个期望：如果你平均每个小时接到2次电话（泊松分布中均值为2次），那么你预期等待每一次电话的时间是半个小时。
X 的方差是：

D[X]=1λ2

{\displaystyle \mathbf {D} [X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}}
推倒过程，根据方差的定义，结合密度函数来求即可。

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