机器学习小组知识点14：均匀分布（Uniform Distribution）

2024-05-10 13:58:08

定义[编辑]

一个均匀分布在区间[a,b]上的连续型随机变量 X {\displaystyle X} 可给出如下函数：
概率密度函数：

f(x)=⎧⎩⎨1b−a0 for a≤x≤belsewhere

f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0}\end{matrix}}\right.
累积分布函数:

F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪0x−ab−a1for x<a for a≤x<bfor x≥b

F(x)=\left\{{\begin{matrix}0}x

公式:

期望值和中值：是指连续型均匀分布函数的期望值和中值等于区间[a,b]上的中间点。

E[X]=a+b2

{\displaystyle E[X]={\frac {a+b}{2}}}
其实这个证明很简单的，做个简单的积分就可以了。

方差：

VAR[X]=(b−a)212

VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}
这个要用到熊神曾讲过的方差跟期望的关系，然后再积分搞定。

VAR[X]=E[X2]−(E[X])2

VAR[X]={\displaystyle E[X^2]-\displaystyle (E[X])^2}
均匀分布具有下属意义的等可能性。若 X∼U[a,b] {\displaystyle X\sim U[a,b]} ,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率：

P(c≤x≤d)=F(d)−F(c)=∫dc1b−adx=d−cb−aP(c≤x≤d)=F(d)−F(c)=∫dc1b−adx=d−cb−a

{\displaystyle P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}} P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}
只与区间[c,d]的长度有关，而与他的位置无关。

试用环境：生物学概念

均匀分布或称规则分布。植物种群的个体是等距分布，或个体之间保持一定的均匀的间距。均匀分布在自然情况下极为罕见，而人工栽培的有一定株行距的植物群落即是均匀分布。

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