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在这个例子中，我们考虑随机波动率模型 SV0 的应用，例如在金融领域。

统计模型

随机波动率模型定义如下

并为

其中 yt 是因变量，xt 是 yt 的未观察到的对数波动率。N(m,σ2) 表示均值 m 和方差 σ2 的正态分布。

α、β 和 σ 是需要估计的未知参数。

BUGS语言统计模型

文件内容 'sv.bug'：

moelfle = 'sv.bug' # BUGS模型文件名
cat(readLies(moelfle ), sep = "\n")

# 随机波动率模型SV_0
# 用于随机波动率模型
var y[t_max], x[t_max], prec_y[t_max]model
{alha ~ dnorm(0,10000)logteta ~ dnorm(0,.1)bea <- ilogit(loit_ta)lg_sima ~ dnorm(0, 1)sia <- exp(log_sigma)x[1] ~ dnorm(0, 1/sma^2)pr_y[1] <- exp(-x[1])y[1] ~ dnorm(0, prec_y[1])for (t in 2:t_max){x[t] ~ dnorm(aa + eta*(t-1]-alha, 1/ia^2)pr_y[t] <- exp(-x[t])y[t] ~ dnorm(0, prec_y[t])}

设置

设置随机数生成器种子以实现可重复性

set.seed(0)

加载模型并加载或模拟数据

sample_data = TRUE # 模拟数据或SP500数据
t_max = 100if (!sampe_ata) {
# 加载数据  tab = read.csv('SP500.csv')y = diff(log(rev(tab$ose)))SP5ate_str = revtab$te[-1])ind = 1:t_maxy = y[ind]SP500_dae_r = SP0dae_tr[ind]SP500_e_num = as.Date(SP500_dtetr)

模型参数

if (!smle_dta) {dat = list(t_ma=ax, y=y)
} else {sigrue = .4; alpa_rue = 0; bettrue=.99;dat = list(t_mx=_mx, sigm_tue=simarue,alpatrue=alhatrue, bet_tue=e_true)
}

如果模拟数据，编译BUGS模型和样本数据

data = mdl$da()

绘制数据

对数收益率

Biips粒子边际Metropolis-Hastings

我们现在运行Biips粒子边际Metropolis-Hastings （Particle Marginal Metropolis-Hastings），以获得参数 α、β 和 σ 以及变量 x 的后验 MCMC 样本。

PMMH的参数

n_brn = 5000 #  预烧/适应迭代的数量
n_ir = 10000 #预烧后的迭代次数
thn = 5 #对MCMC输出进行稀释
n_art = 50 # 用于SMC的nb个粒子
para_nmes = c('apha', 'loit_bta', 'logsgma') # 用MCMC更新的变量名称（其他变量用SMC更新）。
latetnams = c('x') # 用SMC更新的、需要监测的变量名称

初始化PMMH

运行 PMMH

update(b_pmh, n_bun, _rt) #预烧和拟合迭代

samples(oj_mh, ter, n_art, thin=hn) # 采样

汇总统计

summary(otmmh, prob=c(.025, .975))

计算核密度估计

density(out_mh)

参数的后验均值和置信区间

for (k in 1:length(pram_names)) {suparam = su_pmm[[pam_as[k]]]cat(param$q)
}

参数的MCMC样本的踪迹

if (amldata)para_tue = c(lp_tue, log(dt$bea_rue/(-dta$eatru)), log(smtue))
)for (k in 1:length(param_aes)) {smps_pm = tmmh[[paranesk]]plot(samlespram[1,]

PMMH：跟踪样本参数

参数后验的直方图和 KDE 估计

for (k in 1:length(paramns)) {samps_aram = out_mmh[[pramnaes[k]]]hist(sple_param)if (sample_data)points(parm_true)
}

PMMH：直方图后验参数

for (k in 1:length(parm) {kd_pram =kde_mm[[paramames[k]]]plot(kd_arm, col'blueif (smpldata)points(ar_true[k])
}

PMMH：KDE 估计后验参数

x 的后均值和分位数

x_m_mean = x$mean
x_p_quant =x$quant
plot(xx, yy)
polygon(xx, yy)
lines(1:t_max, x_p_man)
if (ame_at) {lines(1:t_ax, x_true)} elselegend(bt='n)

PMMH：后验均值和分位数

x 的 MCMC 样本的踪迹

par(mfrow=c(2,2))
for (k in 1:length) {tk = ie_inex[k]if (sample_data)points(0, dtax_t
}
if (sml_aa) {plot(0legend('center')
}

PMMH：跟踪样本 x

x 后验的直方图和核密度估计

par(mfow=c(2,2))
for (k in 1:length(tie_dex)) {tk = tmnex[k]hist(ot_m$x[tk,]main=aste(t=', t, se='')if (sample_data)points(ata$x_re[t],
}
if (saml_dta) {plot(0, type='n', bty='n', xlegend('centerbty='n')}

PMMH：后边际直方图

par(mfrow=c(2,2))
for (k in 1:length(idx)) {tk =m_dx[k]plot(kmmk]]  if (alata)point(dat_r[k], 0)
}
if (aldt) {plot(0, type='n', bty='n', x, pt.bg=c(4,NA)')
}

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