回溯法 —— 求解子集和问题

求解子集和问题的解

题目描述：

给定有n个不同正整数的集合w=（w1，w2，… ,wn）和一个正数W，要求找出w的子集s，式该子集中所有元素的和为W。例如，当n=4时，w=（11,13,24,7），W=31，则满足要求的子集为（11,13,7）和（24,7）

分析思路：

n=4时，解空间树如图（结点中的数字是结点的编号，例如结点18对应解向量为（1,1,0,1）,选择的整数和=11+13+7=31），从i层到i+1层（1<=i<=n）的每一条边标有xi的值，xi或者为1或者为0，xi为1时表示取wi为整数，xi为0时表示不去wi为整数，从根节点到叶子结点的所有路径定义了解空间。

时间复杂度 O（2^n）,解空间树中有 2^ (n+1) -1个结点

求解该问题需要搜索整个解空间树，设解向量x=（x1，x2，…,xn）,本问题是求所有解，所以一旦搜索到叶子结点（即i=n+1），如果相应的子集和为W，则输出x解向量。搜索到第i（1<=i<=n）层的某个结点时用tw表示选取的整数和，rw表示余下的整数和，rw表示余下的整数和，rw=w[j] (j从i+1到n)

（1）约束函数：检查当前整数w[i]加入子集和是否超过W，若超过，则不能选择该路径。用于左孩子结点剪枝。

（2）限界函数：一个结点满足tw+rw<W,即即使选择剩余的所有整数，也不可能找到一个解。用于右孩子剪枝。

代码：

#include<stdio.h>
#define MAXN 20int n=4,W=31;
int w[]={0,11,13,24,7};  //存放所有整数，不要下标为0的元素
int count=0;  //累计解个数
void dispsolution(int x[])
{int i;printf("第%d个解：\n",++count);for(int i=1;i<=n;i++)if(x[i]==1)printf("%d ",w[i]);printf("\n");} void dfs(int tw,int rw,int x[],int i) //求解子集和 {//tw 考虑第i个整数时选取的整数和，rw为剩下的整数和if(i>n)   //找到一个叶子结点{if(tw==W)    //找到一个满足条件的解输出dispsolution(x); } else    //尚未找完所有整数 {if(tw+w[i]<=W)  //左孩子结点剪枝：选取满足条件的整数w[i]{x[i]=1;  //选取第i个整数 dfs(tw+w[i],rw-w[i],x,i+1); } if(tw+rw>W)  //右孩子结点剪枝：剪出不可能存在解的结点{x[i]=0;  //不选取第i个整数，回溯 dfs(tw,rw-w[i],x,i+1);} }}
int main(){int x[MAXN];  //存放一个解向量int rw=0;for(int j=1;j<=n;j++)   //求所有整数和rw+=w[j];   dfs(0,rw,x,1);   //i从1开始 }

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