快速排序算法_算法设计技巧之分治算法(Java实现快速排序、归并排序)
一、基本概念
在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。
二、基本策略
对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解,这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题,1
三、适用的情况
(1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决;
(2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质;
(3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
(4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
- 第一特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加。
- 第二特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用。
- 第三特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三特征,如果具备了第一和第二特征,而不具备第三特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。
- 第四特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的,则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。
四、基本步骤
- step1分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
![](/assets/blank.gif)
- step2解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题;
![](/assets/blank.gif)
- step3合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
![](/assets/blank.gif)
它的一般的算法设计模式如下:
Divide-and-Conquer(P) if |P|≤n0 then return(ADHOC(P)) //将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk for i←1 to k do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) //递归解决Pi T ← MERGE(y1,y2,...,yk) //合并子问题 return(T)
其中|P|表示问题P的规模,n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P,因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
五、复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间,再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
T(n)= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解:
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n
六、依据分治法设计程序时的思维过程
实际上就是类似于数学归纳法,找到解决本问题的求解方程公式,然后根据方程公式设计递归程序。
- 1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
- 2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
- 3、找到求解的递归函数式后(各种规模或因子),设计递归程序即可。
七、可使用分治法求解的一些经典问题
- 二分搜索
- 大整数乘法
- Strassen矩阵乘法
- 棋盘覆盖
- 归并排序
- 快速排序
- 线性时间选择
- 最接近点对问题
- 循环赛日程表
- 汉诺塔
八、Java使用分治法实现快速排序和归并排序
快速排序和归并排序的实现完全符合分治法的思想,下面是我实现快速排序和归并排序的博文,大家可以参考下,后面我会将快速排序和归并排序的代码贴出来。
Java实现九种排序算法7:交换排序之快速排序Java实现九种排序算法8:归并排序
1、Java版快速排序例子
public class QuickSort { /** * 快速排序 * @param a * @return */ public static int[] quickSort(int[] a) { if(a.length>0) { quickSort(a,0,a.length-1); } return a; } private static void quickSort(int[] a, int low, int high) { if(low=temp) { high--; } a[low] = a[high]; //当队首元素小于等于tmp时,向前挪动low指针 while(low
2、Java版归并排序的例子
public class MergeSort { /** * 归并排序 * @param a * @param left * @param right */ public static int[] mergeSort(int[] a) { return mergeSort(a, 0, a.length-1); } private static int[] mergeSort(int[] a, int left, int right) { if(left
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